题解 CF736D Permutations

link

Description

现在，你有一个二分图，点数为 \(2n\)。

已知这个二分图的完备匹配的个数是奇数。

现在你要知道，删除每条边后，完备匹配个数是奇数还是偶数。

\(1\le n\le 2\times 10^3\)

Solution

可以想到的是，我们对于每一个边 \((u,v)\) 设 \(G_{u,v}=1\)，那么完备匹配的个数在模 \(2\) 意义下就等于 \(|G|\) 。

考虑删除一条边后的答案，你发现删除 \((u,v)\) 后的答案就是 \((u,v)\) 的代数余子式，又因为我们知道 \(G^{-1}=\frac{1}{|G|}G^{*}\)，所以 \(G^{*}=|G|G^{-1}\)，因为整个矩阵都是在模 \(2\) 意义下的，所以我们可以用 bitset 做到 \(\Theta(n^3/\omega)\) 。

代码就不放了。