AT2400 [ARC072B] Alice&Brown

通过打表后可以发现，当初始石头数 \(|X - Y| \le 1\) 时先手必败否则先手必胜。

我们考虑使用归纳证明这个结论，显然 \((1, 0), (1, 1)\) 时是成立的。

基于观察，我们可以发现：

• 对于 \(|X - Y| > 1\) 的情况，先手总存在一种策略使得让后手取得 \(|X' - Y'| \le 1\) 的情况。

• 对于 \(|X - Y| \le 1\) 的情况，无论先手如何操作后手都必然能取得 \(|X' - Y'| > 1\) 的情况。

对于前者，不妨设 \(X < Y, Y = X + k\)，则先手只需从 \(Y\) 中拿出 \(\lceil \frac{k}{4} \rceil \times 2\) 即可。

对于后者，当 \(X = Y\) 时结论显然成立；当 \(Y = X + 1\) 时，两者的差值随 \(Y\) 中取棋数量单调递增，当取最小 \(2\) 个时差值也会超过 \(1\) 因此后者成立。

通过归纳可知判定结论的正确性。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, m;
signed main() {
    cin >> n >> m;
    printf(abs(n - m) <= 1ll ? "Brown" : "Alice");
    return 0;
}

基于观察如果发现博弈论的一个状态必然到达其补集，其补集总是存在一种方案到达该状态时，这个状态往往是必败态，通过类似上面的归纳即可证明。

我称这个为博弈论互补状态可转化的必败性。