20210717 noip18

考前

从小饭桌出来正好遇到雨下到最大，有伞但还是湿透了

路上看到一个猛男搏击暴风雨

到了机房收拾了半天才开始考试

ys 他们小饭桌十分明智地在小饭桌看题，雨下小了才来

考场

状态很差。

开题，一点想法都没有

T1 尝试推出 \(\frac AB\) 的范围，结果因为忘记不等式同乘负数要编号卡了好久。看最终的式子有点像凸包，但不知道怎么用

一看 T2 人都傻了，现场学习盖斯定律，仔细想想 whk 怎么算这个东西，想起来一次周练 5 道题错了 4 个。靠 \(n,m\le200\) 和样例解释猜出是高斯消元，回头再看吧

T3 莫名熟悉，但并不影响我只会暴力。甚至没想到二分答案

不记得什么时候开始写的了，只记得 T1 调了好久，打了一堆补丁，要是没有大样例绝对爆 \(0\) 了。T3 的暴力写的比较顺，\(k=1\) 的分也好拿，但 \(k=n\) 的没什么思路。

16.50 开始看 T2，手模高斯消元确认无误后开始写，但忘了很多，一直到 \(17.30\) 才写完，过了所有样例。

继续想 T3 \(k=n\) 的做法，还是不会，打了随机化贪心，竟然过了样例？！

res

rk3 30+85+30

T1 还是少个特判

T2 高斯消元板子挂了

T3 暴力挂了一个点，但随机化贪心过了一个。。。

感觉这场策略有点问题，应该先写 T2 正解（毕竟不难写）。T1 浪费了不少时间，反而 T2 没写多久，如果考场上没写出高斯消元就爆 \(0\) 了，连骗分都没时间写。

rk1 yzf 100+80+0

rk4 王天泽 20+95+5

rk12 wcr 10+0+70

导弹袭击

时间 \(t=\frac Aa+\frac Bb\)，把 \((\frac 1a,\frac 1b)\) 看做点，变形得到 \(y=-\frac ABx+\frac tB\)，要求一个 \(A,B\) 使 \(t\) 最小，即存在 \(\frac AB\) 使这个一次函数在 \((\frac 1a,\frac 1b)\) 处截距最小，这样的点构成了一个左下凸包（斜率为负），单调栈维护即可。

注意 \(a,b\) 很大而分子为 \(1\)，因此精度掉的很多，那么只在算斜率时转成 long double，其他时候用 int

注意去重和先排掉一定不优的答案（\(a,b\) 都比另一个小 \(a,b\)）

int

const int N = 3e5+5;

int n;

struct Node {

	int a,b,id;

} p[N];

const LD eps = 1e-15;

int tp,stk[N];

bool vis[N],ans[N];

bool equ(LD x,LD y) { return fabs(x-y) < eps; }

LD K(int i,int j)

	{ return (LD)p[i].a*p[j].a*(p[i].b-p[j].b)/p[i].b/p[j].b/(p[i].a-p[j].a); }

signed main() {

	read(n);

	For(i,1,n) read(p[i].a,p[i].b), p[i].id = i;

	sort(p+1,p+n+1,

		[](const Node &x,const Node &y){return x.a!=y.a?x.a>y.a:x.b>y.b;});

	int mxb = 0;

	For(i,1,n)

		if( p[i].b <= mxb ) vis[i] = 1;

		else mxb = p[i].b;

	stk[++tp] = 1;

	For(i,2,n) {

		if( vis[i] || (tp && K(stk[tp],i) > 0) ) continue;

		while( tp > 1 && K(stk[tp],i)+eps < K(stk[tp],stk[tp-1]) ) --tp;

		stk[++tp] = i;

	}

	for(int t; t = stk[tp], tp; --tp) {

		ans[p[t].id] = 1;

		for(int i = t+1; i <= n && p[i].a==p[t].a&&p[i].b==p[t].b; ++i)

			ans[p[i].id] = 1;

	}

	For(i,1,n) if( ans[i] ) write(i,' ');

	return ioclear();

}

double（yzf 的考场代码）

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

int read()

{

    int ret=0;char c=getchar();

    while(c>'9'||c<'0')c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')ret=(ret<<3)+(ret<<1)+(c^48),c=getchar();

    return ret;

}

const int maxn=3e5+5;

const double eps=1e-30;

int n;

struct point

{

    double x,y;int num;

    const bool operator <(const point &a)const{if(x!=a.x)return x>a.x;return y>a.y;}

    const bool operator ==(const point &a)const{return x==a.x&&y==a.y;}

    friend bool judge(point a,point b,point c){return c.x*a.y*(a.x-b.x)*(b.y-c.y)<c.y*a.x*(a.y-b.y)*(b.x-c.x);}

}p[maxn];

bool used[maxn];int sta[maxn],top;

int ans[maxn],cnt;

int main()

{

    n=read();

    for(int i=1;i<=n;i++)p[i].x=read(),p[i].y=read(),p[i].num=i;

    sort(p+1,p+n+1);

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        if(top&&p[sta[top]]==p[i])continue;

        if(top&&p[i].y<=p[sta[top]].y)continue;

        while(top>=2&&judge(p[sta[top-1]],p[sta[top]],p[i]))used[sta[top--]]=0;

        used[sta[++top]=i]=1;

    }

    for(int i=2;i<=n;i++)

        if(p[i]==p[i-1]&&used[i-1])used[i]=1;

    for(int i=1;i<=n;i++)if(used[i])ans[++cnt]=p[i].num;

    sort(ans+1,ans+cnt+1);

    for(int i=1;i<=cnt;i++)printf("%d ",ans[i]);

    return 0;

}

炼金术士的疑惑

官方题解有严格证明。

感性理解：

把每个物质的内能看做未知量，显然 \(\Delta H\) 与方程式可以一起消，那么消元时对要求解的方程一起操作，等要求解的方程各系数都消成 \(0\) 时取常数项的相反数就是答案

code

const int N = 205;

int n;

const double eps = 1e-8;

int m;

double a[N][N];

map<string,int> mp;

void debug() {

	For(i,1,n+1) {

		For(j,1,m+1) cout<<a[i][j]<<' ';

		cout<<endl;

	}

	cout<<endl;

}

bool equ(double x,double y) { return fabs(x-y) < eps; }

bool check() {

	For(i,1,m) if( !equ(a[n+1][i],0) ) return 0;

	return 1;

}

signed main() {

	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);

	cin>>n;

	For(i,1,n+1) {

		for(int f = 1;;) {

			double x; string y; cin>>x>>y;

			if( !mp.count(y) ) mp[y] = ++m;

			a[i][mp[y]] = f*x;

			cin>>y;

			if( y == "=" ) f = -1;

			else if( y == "H=" ) break;

		}

		if( i != n+1 ) cin>>a[i][201];

	}

	m = 200;

	For(i,1,m) {

		int p = i;

		For(j,i+1,n) if( fabs(a[j][i]) > fabs(a[p][i]) ) p = j;

		if( p != i ) swap(a[i],a[p]);

		rFor(j,m+1,i) a[i][j] /= a[i][i];

		For(j,1,n+1) if( j != i )

			rFor(k,m+1,i) a[j][k] -= a[j][i] * a[i][k];

		if( check() ) break;

	}

	printf("%.1Lf",equ(a[n+1][m+1],0) ? 0 : -a[n+1][m+1]);

	return 0;

}

老司机的狂欢

考虑二分答案。

将司机按初始位置排序，check 时先求出结束位置，在对结束位置求 LIS（LIS 中的司机不会相遇），若 LIS 长度小于 \(k\) 则缩小答案。时间复杂度 \(O(n\log n\log86400)\)。

确定答案后再求 LIS，若长度大于 \(k\) 则为 \(-1\)，否则考虑构造字典序最小的方案。

转移时对于 LIS 长度相同的位置，如果从前往后一个一个比显然会 TLE，但我们可以用倍增加速这个过程。（如果把转移看成一颗树，那就相当于在倍增求 LCA 的过程中算两种方案不同的部分中各自最小的位置）

写的时候注意边界、编号