我对KMP算法的理解

KMP算法的核心在于失配回溯表——pnext，相比于通过逐个比较来匹配字符串的朴素算法，KMP通过对模式串的分析，可以做到比较指针在主串上不回溯，一直向前。

1. KMP如何实现不回溯？

　　对于主串 t₀ t₁....t_j，模式串 p在 p_i处与 t_j 失配，假设 p₀~p_i-1 存在最长相等前后缀，可以证明将模式串移动至该前缀的后一位，再将其与 t_j进行比较，不会漏掉可能的匹配，并且可以大大加速匹配过程。并且这种移动与具体主串无关，仅仅与模式串的失配位置 i 有关，可以通过提前分析模式串，得到失配后的串移动表pnext。

2. 如何得到pnext?

　　pnext表实质上记录的是模式串中前 i 个元素形成的子串，其最长相等前后缀的大小。即pnext [ i ] 记录着p₀到p_i-1的子串最长相等前后缀的大小。

　　具体实现方法就是用模式串自身去逐个比对自身，由前后缀的定义可知，头元素没有相等前后缀，pnext [1]=0。用第0个元素去比对第1个元素，当p₀=p₁时，pnext [2]=1，接下来比较p₁是否等p₂；否则pnext [2]=0，接下来继续比较p₀是否等p₂.......

　　更一般的，当已知模式串中pnext [ i-1]=k-1，即 p₀~p_k-2与 p_i-k~p_i-2求pnext [ i ]。分两种情况：

　　　　1）当p_i-1=p_k-1时，对于i-1的最长相等前后缀，比i-2要多1，那么可以得到pnext [ i ]=k，指针后移，开始求pnext [ i+1]；

　　　　2）当p_i-1！=p_k-1时，这时我们需要在 p₀~p_k-1中继续向前找，在 p_i-k~p_i-1中继续向后找，寻找新的最长相等前后缀。假设我们寻找到了该串，即前缀为 p₀~p_x-1，后缀为 p_i-x~p_i-1，那么由于p_i-1！=p_k-1，而p_i-1=p_x-1。表明p_x-1！=p_k-1，这说明串p₀~p_x-2一定是p_k-1的最长相等前后缀串，即pnext [ k ]=x-1。因此当p_i-1！=p_k-1时，可以直接比对p_i-1是否等于p_{pnext[ k ]}！！！此时问题变为：已知模式串中pnext [ i-1]=k-1，求pnext [ i ]，其中i-1实际为k，k-1实际值为x-1。若比对成功，则pnext [ i ]=x，指针后移，否则直接比对p_i-1是否等于p_{pnext[ pnext[ k ] ]}。问题形成了递归。

　　将这种递归求值关系与边界条件相结合，我们注意到当p1 !=p0时，pnext [2]=0= -1+1，可以设pnext [0]=-1，则整个求pnext表值过程可以用一个函数统一起来。求值过程从1号位值开始。

def my_pnext(p):
    '''模式串的pnext表生成函数'''
    m=len(p)
    pnext=[-1]*m
    i,k=0,-1
    while i<m-1:
        '''当k=-1时，说明pi != p0 ，没有最大相等前后缀，此时pnext[i]应为0
同样可以将i,k都加1，进行赋值'''
        if k==-1 or p[i]==p[k]:
            i,k=i+1,k+1
            pnext[i]=k
        else:
            k=pnext[k]
    return pnext

相应的KMP函数为：

def my_kmp(t,p,pnext):
    '''t是主串，p是模式串，pnext是模式串kmp算法的回溯指针表'''
    j,i=0,0
    n,m=len(t),len(p)
    while j<n and i<m:
        if i==-1 or t[j]==p[i]:
            j,i=j+1,i+1
        else:
            i=pnext[i]
    if i==m:
        return j-i
    return -1