POJ - 2184 Cow Exhibition 题解
题目大意
有 \(N(N \le 100)\) 头奶牛,没有头奶牛有两个属性 \(s_i\) 和 \(f_i\),两个范围均为 \([-1000, 1000]\)。
从中挑选若干头牛,\(TS = \sum s[choose], TF = \sum f[choose]\)。
求在保证 \(TS\) 和 \(TF\) 均为非负数的前提下,\(TS+TF\)最大值。
样例
有 5 头牛,下面分别是每头牛的两个属性
5
-5 7
8 -6
6 -3
2 1
-8 -5
选择第 1、3、4 三头牛为最优解
虽然加上 2 号,总和会更大,但是 TF 会变成负数,不合法
分析
- 首先从问题入手,先搞特殊情况:如果两个属性均为负数,果断舍弃,因为它一直在做负贡献
- 一个物品有两个属性,会很自然想到二维费用背包,每个物品的价值为两个属性的和,也就是两种费用的和,这样定义其实意义并不大,而且时间复杂度为 \(O(N*S*F)\),最大会到 \(10^8\),应该会超时。
- 由于价值直接是两者的和,所以我们没必要单独构造一个价值,而是把其中的一维改成价值即可,即用 \(S_i\) 当作费用,\(F_i\) 当作价值,最后扫一遍求最大和就可以了
- 另外一个棘手的问题就是负数的问题:
- 对于价值来说,正负都不影响,直接正常跑背包求最大值即可
- 当费用为非负数时,没什么影响,正常跑 01 背包求最值,背包容积倒叙处理即可,\(f[j] = max \{f[j], f[j-s_i]+f_i\}\)。
- 当费用为负数时,如果直接用上述的式子,\(j-S_i > j\),而背包容积倒叙的话,\(f[j-s_i]\) 会先于 \(f[j]\) 被计算。如果直接这样写,会变成完全背包的样子,不妥。因此只需要把容积改成正序循环即可。
- 由于下标不能为负数,我们可以将 \(0\) 点改成 \(100*1000\),这样的话,即使所有物品的费用都为负数,下标也依旧处在合法的范围内。此时背包的容积也就相应变成了 \([0~200000]\)。
- 注意跑背包的时候的边界即可
- 最后统计时,当费用不小于 \(100000\) 时才表示 \(TS\) 的和为非负数,找到所有价值为非负数的那些,最后求两者和的最大值即可。
部分代码
心情好的时候再加
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