初探网络流：dinic/EK算法学习笔记

---

前记

这些是初一暑假的事：

“都快初二了，连网络流都不会，你好菜啊！！！” from 某机房大佬 to 蒟蒻我。

flag:——NOIP后要学网络流

咕咕咕……………………………………………………………………………………

---

现在是2018-12-29，我终于开始学网络流了。

网络流其实也没有想象的那么难啊，最主要就是要明白怎么建图！！！其他什么的板子一套就完事了。

正式学习

what is 网络流

相信大家都听过网络流这个名字。哦？你知道网络，还知道输入输出流？呀，看来你已经会网络流了啊！

嗯，开个玩笑

网络流(network-flows)是一种图论算法，说起来可能比较抽象，不过我们可以把网络图想象成一个水管分布图，网络流就相当于水流。边就是水管，节点就是一个转换水流的地方。

就像上面的图，它其实就是网(shui)络(guan)图，当然，流入你家的可能不止一根水管，那么，如果现在让你分配水怎么流，就是你可以控制水到了某一个点后往哪根水管流，怎么使流入你家的水最多，就是最大流问题。

另外最小割是什么呢？

就是如果有恐怖分子要拆水管，那么他割宽度为5的水管就要相应耗费5单位的力，所以他想耗尽量少的力去让你家没有水，那么他最终耗费的最小的力就是最小割。

---

网络流的基本性质

1、流量平衡：即 出流的量=入流的量 ，这个比较好理解，就是说如果你入流了100单位水，可水管只能流出50单位水，那么那另外50单位水就爆水管了。

2、最小割=最大流：如果恐怖分子知道你怎么分配使你家的流量最大，那么他就可以把所有水流的路径中最小的割了，那其实就是最大流其中一条路径所能提供的水量。

算法

EK

EK是基于FF算法的一个改良版算法，由于FF算法实在是太废了，我在这里不介绍FF算法，直接讲EK，反正他们的思想差不多。

那么EK算法的思路是什么呢？其实就是不断增广，直到不能再增广为止。那么什么是增广呢，有可能有些人不是很明白？其实增广就是更新，我也一直把增广理解为更新，对一条路进行增广，那条路就是增广路。

额，可能还是不懂吧。其实就是，呐，从源点到汇点不是有很多条路径嘛。EK算法就是每一次抽一条路径，在这条路径上找边权最小值，即这条路径的流量。然后把这条路径的所有边权都减去这个最小值。直到最后没有任何路径可以给汇点输送流量为止。如果一条路径有0容量的边，那么那条路径就废了，因为最多只能流0容量的流量，和不流没区别。

那么我们想一下怎么实现EK算法呢？每一次都进行更新，感觉和搜索有点联系，每一次都向下一个节点更新，直到不能更新就回溯。嗯，那可以写dfs！！！

明显写dfs来跑是非常慢的，这就是FF算法的实现思想。那么EK是什么呢，其实就是把dfs换成了bfs。

那么怎么保证EK的正确性呢？事实上，如果普通建边是跑不了最大流的，EK支持一个反悔操作，什么是反悔呢？不要以为是太高级，其实就是从u走到v，我还可以又从v走回u。我们也可以这么理解，之前有一条路径不可以形成最大流，那么我们就将那条路径反悔，换其他路径。

实现这个反悔操作只需要建反向边，反向边刚开始的流量为0，因为暂时不能往回流，如果流过一条边，那条边的容量自然减少，而反向边容量增加，那么之后反向边就可以流动了。

那么来看看EK的具体实现吧：

//网络最大流（EK）
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
#define INF 119260817
using namespace std;
int cnt,cost[maxn],from[maxn],to[maxn],Next[maxn],head[maxn],consume[maxn];
int dis[maxn],vis[maxn],flow[maxn],last[maxn],maxflow,check;
queue<int>q;
int S,T,n,m;
void add(int x,int y,int z){		//建边
    ++cnt;cost[cnt]=z;
    from[cnt]=x;to[cnt]=y;
    Next[cnt]=head[x];head[x]=cnt;
}
bool bfs(int S,int T){				//EK核心代码BFS
    for(int i=1;i<=n;i++)last[i]=0,vis[i]=-1;
    q.push(S);dis[S]=0;vis[S]=1;flow[S]=INF;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=Next[i]){
            int v=to[i];
            if(cost[i]&&vis[v]==-1){		//发现有路径可以增广
                flow[v]=min(flow[u],cost[i]);		//流量更新
                last[v]=i;					//为了最后进行该路径所有边权减最小值，标记来边
                q.push(v);
                vis[v]=u;
            }
        }
    }if(vis[T]!=-1)return true;				//如果汇点没有被更新，那么就结束EK
    return false;
}
void update(int S,int T){			//对求出的路径进行更新，即对BFS求出的路径进行减最小值更新
    int now=T;
    while(now!=S){
        int i=last[now];
        cost[i]-=flow[T];cost[i^1]+=flow[T];	//记得给反向边增加
        now=from[i];				//进行下一条边
    }
    maxflow+=flow[T];				//最大流加上流量
}
void EK(){
    maxflow=0;
    while(bfs(S,T)==true){
        update(S,T);
    }
}
int main(){cnt=1;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);add(y,x,0);		//刚开始要建反向边，容量是0
    }
    EK();
    printf("%d",maxflow);
}

EK时间复杂度:O(n m^2).

dinic

在学dinic之前，希望大家先明白EK的实现思路和原理。讲dinic会在EK的基础上讲的。

其实dinic和EK差不多，只不过dinic多了个分层，这个所谓的分层是一个限制，EK在bfs不是只要有路走就增广吗？而dinic则限制只能往下一层走。

那么来讲讲dinic怎么实现吧：

首先是分层，dinic分层用bfs来分层，这个没什么好说的，就是源点是第0层，和源点有边的点是第1层，这样bfs下去分层。当然，在分层中还可以判断汇点还有没有流可以汇入，如果汇点分不了层了，就代表没有流可以流入汇点了。

然后是找最大流，dinic的找最大流是用dfs的。具体就是从源点找到满足的点就一直递归下去，直到找到汇点，返回中途的最小值，然后更新边权，和EK一样，不过dinic是递归形式，所以可以直接在dfs上更新，不需要在写个update操作。

下面看看dinic的实现：

//网络最大流dinic
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
#define INF 19260817
using namespace std;
int cnt,cost[maxn],from[maxn],to[maxn],Next[maxn],head[maxn];
int level[maxn];
queue<int>q;
int S,T,n,m;
void add(int x,int y,int z){		//建边
    ++cnt;cost[cnt]=z;
    from[cnt]=x;to[cnt]=y;
    Next[cnt]=head[x];head[x]=cnt;
}
bool bfs(){							//bfs分层
    memset(level,-1,sizeof(level));
    level[S]=0;q.push(S);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=Next[i]){
            int v=to[i];
            if(cost[i]!=0&&level[v]==-1){	//如果容量是0||已被更新就不更新了
                level[v]=level[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }if(level[T]!=-1)return true;			//如果流不动了就结束dinic
    return false;
}
int dfs(int u,int flow){			//dfs找最大流
    if(u==T)return flow;
    int ret=flow;					//记录初始流量
    for(int i=head[u];i!=-1;i=Next[i]){
        if(ret<=0)break;			//如果已经没流了就退出
        int v=to[i];
        if(cost[i]!=0&&level[u]+1==level[v]){
            int k=dfs(v,min(cost[i],ret));	//把能流的都给下一个点
            ret-=k;cost[i]-=k;cost[i^1]+=k;	//边权更新，剩余流量更新
        }
    }
    return flow-ret;				//返回流出的流量
}
int dinic(){
    int ans=0;
    while(bfs()==true){
        ans+=dfs(S,INF);			//累加最大流
    }
    return ans;
}
int main(){cnt=1;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);add(y,x,0);		//EK一样建边
    }
    printf("%d",dinic());
}

dinic时间复杂度:O(n^2 m).

希望大家也能学会网络流哦！！！

谢谢观赏，点个赞吧！