常州培训 day4 解题报告

第一题：（简单的模拟题）

给出一个N位二进制数，有‘+’， ‘-’， ‘*’， ‘/’ 操作，分别表示加1，减1，乘2，除以2，给出M个操作，求出M个操作后的二进制数。N,M<=5000000;

数据保证最高位不会进位或退位。

解题过程：

1.一开始以为是裸的高精度，但是数据范围肯定做不到那么大。考虑二进制运算的特殊性，题目又有”数据保证最高位不会进位或退位“，那么二进制数的最高位已经定了，只要做一个尾指针r，如果*就r++，如果除就r--，就是模拟左移右移的过程。

2.考虑到1011111111111111111111111111111的情况，如果+1，那么就要改变很多位，而N又很大，担心超时，于是做了一个累加器cnt，如果碰到‘+’，就cnt++，碰到‘-’就cnt--。碰到‘*'的时候考虑cnt的值，如果比较大（自己设一个边界），那么就先做一次加法（减法），把cnt清0；碰到除法比较恶心，需要考虑2种特殊情况；

A.如果cnt为负奇数，且被减数x为偶数，那么 比如（10-5）/2=2， 就不能简单的把被减数和减数都除以2，因为（10/2-5/2）=3，所以需要多减一个1。

B.如果cnt为正奇数，x是奇数，那么比如 （11+5）/2=8， 就不能简单的把x和cnt都除以2，因为（11/2+5/2）=7，所以需要多加一个1。

这样就不用每次都处理整个数，只有当计数器累积的值比较大的时候才做一次，大大减小了计算次数。

考试的时候处理乘法的时候，边界写错，结果爆0了。。自己写的小数据没能找出错。

3.修改后的代码速度却很不理想，竟然不如最朴素的算法，碰到‘+’就+1，碰到‘-’就-1，碰到‘*'就右移一位，碰到’/'就左移一位。。一开始优化了半天，还是不如人家的朴素算法，最后才发现是 int 和char 速度的区别，用char 表示二进制数速度可以快一倍，不过2中的优化就没法用了。但是相比之下char比int要快的多得多。 简单才是最美额。

另外在考试的时候发现一个非常奇妙的东西，就是对于负数，右移一位不等价于除以2.

（-7）/2=-3;

(-7)>>1=-4;

考试时百思不得其解，搜了些资料

http://www.cnblogs.com/myblesh/articles/2431806.html

http://wenku.baidu.com/link?url=q5qwUdt9n7VYZVVd_IyxaxuA0XXgMS__KGmx-e__0Eym8yXI1jDcrcnJO3Ac_AUvTyNLaPh-4eUkABIFTmfh1KRdSWsBE1kEJHLCkJU2oRe

大致是 -7 的存储是用补码，也就是11111.......11001;右移一位就变成了111111....11100;转换回来就是10000....100;也就是-4。 以后碰到负数还是老老实实用‘/’吧。。

第二题：

题目大意：给出n*m的棋盘，给出棋盘上k个皇后（可以控制行列和对角线）的坐标，求出没有被控制的点的个数。 N,M<=50000，K<=500；

解题过程：

1.最容易想到的是开一个二维数组，然后依次判断每个点是否被控制，但是空间显然不够。

2.很快能想到可以倒过来做，求出被控制的点的个数，用m*n来减就是答案。用hash数组保存每行每列以及对角线的情况，然后依次加入一个个皇后，对于每一个皇后，沿着行列和对角线走一遍，统计增加的被控制的点即可。复杂度O（nk），常数也比较小；

3.300分的AK大神 上去讲了个思路，挺巧妙的，不过感觉效率可能还不如 2中的方法：从上往下一行行扫描，对于每一个皇后，可以求出它能控制到的这行的那些点，用一个hash并统计被控制的点的个数。。复杂度应该也是（nk），但是常数估计比较大，因为处理完每一行，hash数组都要memset一遍。

4.讲课的大神的方法：把同一行的60个格子压成一个long long，加上hash即可。。不过感觉具体实现起来有些麻烦。

第三题：

题目大意：求出满足相邻数字不超过2的 K位数的个数。 K<=10^18；结果mod 1000000007；

解题过程：

1.这题数据太大了，30%的都是10^6；写了个动规，F[i][j]表示以i结尾的j位数的个数，F[i][j]=sum(F[k][j-1]),(i-2<=k<=i+2,0<=k<=9);

怕超时，把递推改成记忆化了，结果爆栈，只骗到了一个k=1的数据。

2.正解思路基本也是这样，不过要用矩阵乘法优化；参考国家集训队论文，现学了点矩阵乘法的东西。

http://wenku.baidu.com/link?url=baFXefgWWbuE53GG3ET9Uk9XCNFsmsbOBAE-DrgWS0ahGjMKyJDVyCNBwlD_7ApyoGPVzCodMPrFPS0STyYXmGLK0iRoNZVsSbqqhzdyXWi

只在yzoi上写了个矩阵乘法版斐波那契，算是勉强入门了。

再来看这题,首先根据递推公式，发现 F[i][j]只和F[i-2...i+2][j] 有关，因此构造这样一个矩阵：

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

初始矩阵为 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

分别表示以i开头长度为1的 方案数。利用结合律先让 第一个矩阵自乘n-2次，再和第二个矩阵乘一次 即为答案。