bzoj 3757 苹果树（树上莫队算法）

【题意】

有若干个询问，询问路径u,v上的颜色总数，另外有要求a,b，意为将a颜色看作b颜色。

【思路】

vfk真是神系列233。

Quote：

用S(v, u)代表 v到u的路径上的结点的集合。

用root来代表根结点，用lca(v, u)来代表v、u的最近公共祖先。

那么

S(v, u) = S(root, v) xor S(root, u) xor lca(v, u)

其中xor是集合的对称差。

简单来说就是节点出现两次消掉。

lca很讨厌，于是再定义

T(v, u) = S(root, v) xor S(root, u)

观察将curV移动到targetV前后T(curV, curU)变化：

T(curV, curU) = S(root, curV) xor S(root, curU)

T(targetV, curU) = S(root, targetV) xor S(root, curU)

取对称差：

T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= (S(root, curV) xor S(root, curU)) xor (S(root, targetV) xor S(root, curU))

由于对称差的交换律、结合律：

T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= S(root, curV) xor S(root, targetV)

两边同时xor T(curV, curU)：

T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor S(root, curV) xor S(root, targetV)

发现最后两项很爽……哇哈哈

T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor T(curV, targetV)

（有公式恐惧症的不要走啊 T_T）

也就是说，更新的时候，xor T(curV, targetV)就行了。

即，对curV到targetV路径(除开lca(curV, targetV))上的结点，将它们的存在性取反即可。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　from vfleaking

设目前指针处于a,b，且now为已经得到的T(curV,curU)的统计答案，此次询问为u,v，则我们使a->u,b->v，设计一个vis标记，路上取反标记并更新now，即xor T(curV,targetV)，最后还要取反lca(u,v)才是一个完整的u->v路径。

【代码】

 #include<set>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N = 4e5+;
 const int D = ;

 ll read() {
     char c=getchar();
     ll f=,x=;
     while(!isdigit(c)) {
         if(c=='-') f=-; c=getchar();
     }
     while(isdigit(c))
         x=x*+c-'',c=getchar();
     return x*f;
 }

 struct Edge {
     int v,nxt;
 }e[N];
 int en=,front[N];
 void adde(int u,int v)
 {
     e[++en]=(Edge){v,front[u]}; front[u]=en;
 }

 int n,m,B,B_cnt,now,dfsc,dfn[N],ans[N];
 int pos[N],a[N],cnt[N],vis[N],fa[N][D],dep[N],st[N],top;

 struct Node
 {
     int id,l,r,a,b;
     bool operator < (const Node& rhs) const
     {
         return pos[l]<pos[rhs.l] || (pos[l]==pos[rhs.l]&&dfn[r]<dfn[rhs.r]);
     }
 } q[N];

 int dfs(int u)
 {
     FOR(i,,D-)
         fa[u][i]=fa[fa[u][i-]][i-];
     int size=;
     dfn[u]=++dfsc;
     trav(u,i)
     {
         int v=e[i].v;
         if(v!=fa[u][]) {
             fa[v][]=u;
             dep[v]=dep[u]+;
             size+=dfs(v);
             if(size>=B) {
                 B_cnt++;
                 while(size--)
                     pos[st[top--]]=B_cnt;
             }
         }
     }
     st[++top]=u;
     return size+;
 }
 int lca(int u,int v)
 {
     if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
     int t=dep[u]-dep[v];
     FOR(i,,D-)
         if((<<i)&t) u=fa[u][i];
     if(u==v) return u;
     for(int i=D-;i>=;i--)
         if(fa[u][i]!=fa[v][i])
             u=fa[u][i],v=fa[v][i];
     return fa[u][];
 }
 void upd(int u)
 {
     if(!vis[u]) {
         vis[u]=;
         now+=(++cnt[a[u]])==;
     } else {
         vis[u]=;
         now-=(--cnt[a[u]])==;
     }
 }
 void work(int u,int v)
 {
     while(u!=v)
     {
         if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
         upd(u); u=fa[u][];
     }
 }
 int main()
 {
 //    freopen("in.in","r",stdin);
 //    freopen("out.out","w",stdout);
     n=read(),m=read();
     B=sqrt(n);
     FOR(i,,n) a[i]=read();
     int rt,u,v;
     FOR(i,,n) {
         u=read(),v=read();
         if(!u) rt=v;
         else if(!v) rt=u;
         else adde(u,v),adde(v,u);
     }
     dfs(rt);
     B_cnt++;
     while(top) pos[st[top--]]=B_cnt;
     FOR(i,,m) {
         q[i].l=read(),q[i].r=read();
         q[i].a=read(),q[i].b=read();
         q[i].id=i;
         if(dfn[q[i].l]>dfn[q[i].r]) swap(q[i].l,q[i].r);
     }
     sort(q+,q+m+);

     work(q[].l,q[].r);
     int lc=lca(q[].l,q[].r);
     upd(lc);
     ans[q[].id]=now;
     ans[q[].id]-=(q[].a!=q[].b)&&(cnt[q[].a]&&cnt[q[].b]);
     upd(lc);

     FOR(i,,m) {
         work(q[i-].l,q[i].l);
         work(q[i-].r,q[i].r);
         lc=lca(q[i].l,q[i].r);
         upd(lc);
         ans[q[i].id]=now;
         ans[q[i].id]-=(q[i].a!=q[i].b)&&(cnt[q[i].a]&&cnt[q[i].b]);
         upd(lc);
     }

     FOR(i,,m)
         printf("%d\n",ans[i]);
     return ;
 }