$LCT$初步

\(\rm{0x01}\) 闲话 · \(LCT\)的用途以及具体思路

LCT是啥？百度一下的话……貌似是一种检查妇科病的东西？Oier的口味可是真不一般啊

咳，其实在我最近只是浅浅地学了一部分的基础上，窝觉得\(LCT\)其实就是一个用来维护森林连通性的。

嗯……因为其独特的性质所以也可以顺便维护好多东西，什么链上的最大值啊，链上的权值和啊……都可以维护——或者说，LCT是更加全能的树剖。

但其实吧……\(LCT\)打板子是很简单的，但是真正理解却一点儿也不简单。因为本身\(splay\)就很麻烦了，况且\(splay\)之前一直用于维护数列。要知道，此处的\(splay\)可是作为辅助树，维护一整个森林，并且可以支持序列中几乎全部操作——这就大大增高了理解难度。举个例子，你曾经认为已经难以理解、或者说不可以做的、比较复杂的区间翻转\(Luogu3391\)，在\(LCT\)里面有十分全面的涉及，但是被精简到了只有两行是用来描述这个内容的。显而易见的是，\(LCT\)虽然常数十分的大，但代码十分的短，比一棵完整的平衡树短了不少（实测50+行），与\(FFT\)一样具有着华丽的可观赏性，但是隐藏在之后的思维难度同样不可小觑。

也就是说我们是不是学的太草率、太浮躁了呢？快餐式地学完\(LCT\)，网上的每一篇博客都包教包会。但是我今天要整理的，是对于\(LCT\)真正的理解。希望各位看到这篇拙作的人可以获得一些什么。

\(\rm{0x02}\) 闲话 · 关于\(\rm{splay}\)

道理我都懂，要想动态拆删一些东西，辅助树的形态可以改变是先决条件。看上去平衡树好像是个不错的选择，但是，选哪个作为辅助树呢？后宫佳丽三千我该翻谁的牌子呢

历史的重任最后落到了\(\rm{splay}​\)的身上。然后\(\rm{splay}​\)他居然：

他甚至还：

……

好吧，由于某些rqy也不知道的原因，如果不用\(\rm{splay}\)的话，复杂度是均摊\(\Theta(\rm{nlog^2n})\), 而用\(\rm{splay}\)就可以做到均摊\(\Theta(\rm{nlogn})\) ……但事实上，splay确实有他独特的性质，比如旋转到根啊之类的，比起其他种类的平衡树而言，更加适合\(LCT\)

\(\rm{0x03}\) \(LCT\)的思路和基础操作

一 主要思路

主要思路嘛……大概是基于实链剖分的操作。

朴素的树剖是重链剖分，大体上就是将整棵树的链划分为轻边和重链，运用巧妙的性质做到\(log\)级别。而遗憾的是\(LCT\)维护的是森林的连通性，所以只能采用实链剖分。

而实链剖分大体上就是把边分为虚边和实边。其中实边串联起一个联通块，同一组实边存在、且仅存在于一棵\(\rm{splay}\)中。\(\rm{splay}\)和\(\rm{splay}\)之间由虚边相连。

实链剖分的好处呢？在于实链剖分是一种动态剖分，他可以随意改变边的虚实属性。而显然，重链剖分由于有着足够的理论依据和逻辑推演，所以轻重链是难以更改，或者说，不可更改的。So，实链剖分为动态树的动态打下了基础。

那么接下来我们来看一个\(LCT​\)是如何定义的:

• 首先，一棵\(LCT​\)管控的是一对分散的点，点以几棵分散的\(splay​\)的形式聚集。起初整棵\(LCT​\)是没有任何联系的，各自为战，各自为根。我们接下来会看到的\(access​\)、\(makeroot​\)等操作，都是在自己的联通块儿内部进行的操作。换句话讲，\(LCT​\)维护的是有根森林，即组成森林的每个联通块都有其唯一的根。
• 实边串联起一个联通块，同一组实边存在、且仅存在于一棵\(\rm{splay}\)中。\(\rm{splay}\)和\(\rm{splay}\)之间由虚边相连。只有实边是有效的，虚边可以被认为不存在。但是两种边都没有用到显式存储，都是通过splay中的\(Son\)数组和\(Fa\)数组访问的。但虚边和实边的存储有区别：
  • 虚边是认父不认子，即如果\(Fa[x]==y\)，那么\(y\)不存\(x\)这个儿子，但是\(x\)存\(y\)这个父亲。这样做是为了可以\(Access\)——因为其实在\(Access\)的子函数\(splay\)里，发挥作用的实际上是\(Fa\)指针。
  • 实边是完整的双向存储。
• \(\rm{splay}\)中维护的是一条从存储上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历\(\rm{splay}\)得到的每个点的深度序列严格递增。换句话讲，一个\(\rm{splay}\)里面不会出现在原联通块儿（树）中深度相同的两个点。在一棵\(\rm{splay}\)中，键值就是原树中的深度。
• 如果\(x\)是它所在\(splay\)的最左边的点，那么它在原森林里的父亲是\(x\)所在\(splay\)的根的\(fa\), 否则就是\(x\)在\(splay\)上的前驱.

二 基础操作

\(emm\)所谓基础操作大概就是每个用到\(LCT\)的题几乎都要用到的操作，我们这个地方先把点\(n\)所在联通块儿内的树的根记作$root(n) \(，把与\)n$以实边相连的儿子记作实儿子。

• \(\rm{1}\) \(Access\)

这个操作有着很迷的性质，其时间复杂度是均摊\(\log n\)的。而这个操作的目的是\(Access(n)\)表示从\(root(n)\)向\(n\)打通一条实链，并以\(n\)点为最深度最大的点、\(root(n)\)为深度最小的点形成一棵\(\rm{splay}\)。

不难看出，这个操作其实跟是一种逻辑层面的自我调控，没有改变原树的结构。

我们思考，如果此时我们\(Access​\)完点\(n​\)之后，理论上来讲，\(n​\)点应该不再有实儿子了——显然，如果有实儿子的话，\(splay​\)中是应该包含这个实儿子的——而这就不符合\(n​\)是\(\rm{splay}​\)中深度最大的点的性质了。而因为在splay中，点是以深度为键值的，所以我们要每次砍掉\(\rm{splay}​\)中的右儿子——即砍掉原来的实儿子，并把刚刚诞生的\(\rm{splay}​\)连上。

inline void Access(int x) {
    for (int qwq = 0 ; x ; x = T[qwq = x].F)
        splay(x), rc = qwq, update(x) ;
}

然后这就是\(Access​\)了。

• \(2 ~~Make~ Root~\)

\(make\_root​\)先从原来的根向\(n​\)打通一条路径，然后\(splay​\)上去，最后\(reverse​\)一下。此处由于一开始\(n​\)的深度最大，\(splay​\)之后深度依旧最大，但此时\(n​\)是\(splay​\)的根，所以\(reverse(n)​\)就相当于翻转了整条树上的链，那么翻转之后，\(n​\)的深度就变成了最小，于是就是这个联通块儿的根节点了。

#define lc T[x].Son[0]
#define rc T[x].Son[1]
struct LCT{
    int F, Son[2], R, S ;
}T[MAXN] ;
inline void splay(int x) ;
inline void reverse(int x) { lc ^= rc ^= lc ^= rc, T[x].R ^= 1 ;}
inline void push_down(int x) { if (!T[x].R) return ; T[x].R = 0 ; if (lc) reverse(lc) ; if (rc) reverse(rc) ; }

inline void Rooten(int x) { Access(x), splay(x), reverse(x) ; }

inline void splay(int x){
    int qwq = x ; stk.push(qwq) ;
    while(check(qwq)) qwq = T[qwq].F, stk.push(qwq) ;
    while(!stk.empty()) push_down(stk.top()), stk.pop() ;
    while(check(x)){
        int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F ;
        if (check(fa)) rotate((T[g_fa].Son[1] == fa) == (T[fa].Son[1] == x) ? fa : x) ; rotate(x) ;
    }
}

此处\(splay\)中由于要下放标记，保证树的形态是正确的，所以我们用一个\(stack\)存一下，顺序下放标记。

• \(3~~Merge~~\)

此处的\(Merge(x, y)\)的意义是，拉起\(x,y\)中间的链，形成一个\(splay\)。这里就直接\(Mkroot\)一遍，然后\(Access\)即可。让哪个点当根应该都可以，只不过多\(splay\)几次可以保证优（毒）秀（瘤）的复（大）杂（常）度（数）。

inline void Merge(int x, int y) { Rooten(x), Access(y), splay(y) ; }

• \(4~~Link~\&~Cut\)

如果保证\(Link\)和\(Cut\)都是合法的操作的话，\(Link\)直接连，\(Cut\)直接删即可。

inline void Link(int x, int y){ Rooten(x) ;  T[x].F = y ;}
inline void Cut(int x, int y){ Merge(x, y) ; T[x].F = T[y].Son[0] = 0 ;}

此处\(Link\)必须先\(Mkroot\)一下，否则树链就断了。连的是虚边（因为连实边就会改变原来\(splay\)的割据）；\(Cut\)必须先\(split\)一下，保证两个点之间在同一棵\(splay\)中，加之我们的\(Merge\)操作中，一开始把\(x\)给\(mkroot\)了，再把\(y\)点\(splay\)上去，直接导致了现在\(x\)应该是\(y\)的孩子——于是就很开心的，可以直接\(cut\)了。

但事实上，天不遂人意……有时候这条边并不存在，盲目删除的话会导致\(GG\)，盲目连边的话也会导致树的形态爆炸，所以我们要进行一波操作……

• \(New-Link\)

inline void Link(int x, int y){ Rooten(x) ; if(Find(y) != x) T[x].F = y ;}
inline int Find(int x){ Access(x), splay(x) ; while(lc) push_down(x), x = lc ; splay(x) ; return x ;}

此处的意义在于，如果我们发现两个点在一个子树里面，连接它们就破坏了树的性质。\(Find\)就是无比普通的\(Find\)。。。。233

但要注意啊，\(Find\)找的是原树中的根，不是\(splay\)。由于原树中根的深度一定最小，所以应该是\(splay\)中最靠左的点……所以不断找左儿子。

多\(BB\)一句，这个地方一定注意啊！\(Find\)只改变了\(splay\)的形态，\(mkroot\)改变的是原树中的根

• \(New-Cut\)

inline void Cut(int x, int y){
	Rooten(x) ;
	if (Find(y) != x || T[y].Son[0] || T[y].F != x) return ;
	T[y].F = T[x].Son[1] = 0, update(x) ;
}

此处首先我们要判一下这两个点是不是直接相连。是否直接相连……在一棵\(splay\)中的体现，要克服两个问题，第一是要判断是否连通，还是\(Find\)操作。

之后我们需要判断是否满足恰好相隔一条边——注意，首先因为代码中的\(x\)比\(y\)在原树位置靠上（\(Rooten\)了\(x\)），在\(splay\)中靠左，那么如果\(y\)有左儿子的话，说明一定有\(Depth(x) < Depth(y\text{的左儿子们}) < Depth(y)\)，其中\(Depth\)表示原树深度。那么此时原树中\(x\)和\(y\)之间，一定隔着一些节点。考虑树的性质，两点之间有且仅有一条简单路径——所以当\(T[y].Son[0]\)不指向\(Null\)时，\(x\)和\(y\)之间没有一条边，不能直接\(Cut\)。

剩下的就很简单了，\(T[y].F\)应该是\(x\)，否则也不是直接相连。

• 5 \(~Rotate\)中的坑点

呃……其实就一处而已。就是：

inline bool check(int x){ return T[T[x].F].Son[0] == x || T[T[x].F].Son[1] == x ;  }
inline void rotate(int x) {
    int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F, W = x == T[fa].Son[1] ;
    if (check(fa)) T[g_fa].Son[T[g_fa].Son[1] == fa] = x ; T[x].F = g_fa ;
    T[fa].Son[W] = T[x].Son[W ^ 1], T[T[x].Son[W ^ 1]].F = fa, T[fa].F = x, T[x].Son[W ^ 1] = fa, update(fa), update(x) ;
}

这个地方\(splay\)双旋判断祖父的时候，不再用\(\rm{if(g\_fa)}\)，而是用\(\rm{if(check(fa))}\)。原因很简单，我们的虚边也是有指向父亲的指针的，但是连接两个不同的\(splay\)

剩下的……大概就没了吧……

于是——

\(\color{red}{C}\color{cyan}{o}\color{gold}{d}\color{green}{e}\)

#include <stack>
#include <cstdio>
#include <iostream>

#define MAXN 300233
#define lc T[x].Son[0]
#define rc T[x].Son[1]
#define rep(a, b, c) for(a = b ; a <= c ; ++ a)

using namespace std ;
struct LCT{
    int F, Son[2], R, S ;
}T[MAXN] ; stack <int> stk ;
int base[MAXN], N, M, A, B, C, i ;

inline int Find(int x) ;
inline void splay(int x) ;
inline void push_down(int x) ;
inline void update(int x) { T[x].S = T[lc].S ^ T[rc].S ^ base[x] ;}
inline void reverse(int x) { lc ^= rc ^= lc ^= rc, T[x].R ^= 1 ;}
inline bool check(int x){ return T[T[x].F].Son[0] == x || T[T[x].F].Son[1] == x ;  }
inline void Access(int x) { for (int qwq = 0 ; x ; x = T[qwq = x].F) splay(x), rc = qwq, update(x) ; }
inline void rotate(int x) {
    int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F, W = x == T[fa].Son[1] ;
    if (check(fa)) T[g_fa].Son[T[g_fa].Son[1] == fa] = x ; T[x].F = g_fa ;
    T[fa].Son[W] = T[x].Son[W ^ 1], T[T[x].Son[W ^ 1]].F = fa, T[fa].F = x, T[x].Son[W ^ 1] = fa, update(fa), update(x) ;
}
inline void splay(int x){
    int qwq = x ; stk.push(qwq) ;
    while(check(qwq)) qwq = T[qwq].F, stk.push(qwq) ;
    while(!stk.empty()) push_down(stk.top()), stk.pop() ;
    while(check(x)){
        int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F ;
        if (check(fa)) rotate((T[g_fa].Son[1] == fa) == (T[fa].Son[1] == x) ? fa : x) ; rotate(x) ;
    }
}
inline void Rooten(int x) { Access(x), splay(x), reverse(x) ; }
inline void split(int x, int y) { Rooten(x), Access(y), splay(y) ; }
inline void Link(int x, int y){ Rooten(x) ; if(Find(y) != x) T[x].F = y ;}
inline int Find(int x){ Access(x), splay(x) ; while(lc) push_down(x), x = lc ; splay(x) ; return x ;}
inline void push_down(int x) { if (!T[x].R) return ; T[x].R = 0 ; if (lc) reverse(lc) ; if (rc) reverse(rc) ; }
inline void Cut(int x, int y){ Rooten(x) ; if (Find(y) != x || T[y].Son[0] || T[y].F != x) return ; T[y].F = T[x].Son[1] = 0, update(x) ; }
int main(){
    cin >> N >> M ;
    rep(i, 1, N) scanf("%lld", &base[i]) ;
    rep(i, 1, M){
        scanf("%d%d%d", &A, &B, &C) ;
        if (A == 0) split(B, C), printf("%d\n", T[C].S) ;
        else if (A == 1) Link(B, C) ; else if (A == 2) Cut(B, C) ; else splay(B), base[B] = C ;
    }
    return 0 ;
}

\(\rm{0x00}\) 后记和参考

可写完了……嗝……打个肥宅嗝犒劳犒劳自己

怎么说呢，自从我开始学\(LCT\)到我写完这篇\(blog\)为止，是我十分难熬的时间，总时长接近一周。一开始看别人写的\(LCT\)，想当然地、草率地理解了理解，就开始打板子，对\(LCT\)一直是极为肤浅的认识。直到开始写，才发现自己哪个地方都不会，理解的半生不熟，总之很惨……

写博客真是一个陶冶情操的过程啊……包括做表情包

加油吧，\(pks\)！

\(\rm{Reference}\)

• \([1]\) :\(Flash\_Hu\)的\(blog\) \(^{^{[\nearrow ]}}\)
• \([2]\) :某篇论文，结合食用效果显著 \(^{^{[\nearrow]}}\)

\(\mathfrak{writter:pks}\)