洛谷 P4389 付公主的背包 解题报告

P4389 付公主的背包

题目背景

付公主有一个可爱的背包qwq

题目描述

这个背包最多可以装\(10^5\)大小的东西

付公主有\(n\)种商品，她要准备出摊了

每种商品体积为\(V_i\)，都有\(10^5\)件

给定\(m\)，对于\(s\in [1,m]\)，请你回答用这些商品恰好装\(s\)体积的方案数

输入输出格式

输入格式：

第一行\(n,m\)

第二行\(V_1\sim V_n\)

输出格式：

\(m\)行，第\(i\)行代表\(s=i\)时方案数，对\(998244353\)取模

说明

对于\(30\%\)的数据，\(n\le 3000,m\le 3000\)

对于\(60\%\)的数据，纯随机生成

对于\(100\%\)的数据， \(n\le 100000,m\le 100000\)

对于\(100\%\)的数据，\(V_i\le m\)

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先构造一波生成函数

\[F_k(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{iv_k}=\frac{1}{1-x^{v_k}}
\]

然后答案是\(n\)个东西卷起来，复杂度高达\(O(nm\log m)\)，显然苟不住

不妨把\(n\)个函数都取对数，然后就成了多项式加法，可以直接枚举倍数做到\(O(m\ln m)\)，现在考虑如何转换成为对数

\[\begin{aligned}
G&=\ln F\\
G'&=\frac{F'}{F}\\
&=(1-x^v)\sum_{i=0}^\infty vix^{vi-1}\\
&=\sum_{i=0}^\infty vix^{vi-1}-\sum_{i=0}^\infty vix^{v(i+1)-1}\\
&=\sum_{i=0}^\infty vix^{vi-1}-\sum_{i=0}^\infty v(i-1)x^{vi-1}\\
&=\sum_{i=0}^\infty vix^{vi-1}\\
G&=\int G'\\
&=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i}x^{vi}
\end{aligned}
\]

于是我们需要实现的就只有多项式exp啦

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N=(1<<18)+10;
const int mod=998244353,Gi=332748118;
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
int ans[N],G[N],turn[N],ina[N],inb[N],lna[N],lnb[N],exa[N],exb[N],cnt[N],Inv[N];
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
void NTT(int *a,int typ,int len)
{
    int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1) ++L;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L;
        if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);
    }
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
    {
        int wn=qp(typ?3:Gi,(mod-1)/(le<<1));
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
        {
            int w=1;
            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))
            {
                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);
                a[i]=add(tx,ty);
                a[i+le]=add(tx,mod-ty);
            }
        }
    }
    if(!typ)
    {
        int inv=qp(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);
    }
}
void polyinv(int *a,int *b,int len)
{
    if(len==1){b[0]=qp(a[0],mod-2);return;}
    polyinv(a,b,len>>1);
    for(int i=0;i<len<<1;i++) ina[i]=inb[i]=0;
    for(int i=0;i<len;i++) ina[i]=b[i],inb[i]=a[i];
    NTT(ina,1,len<<1),NTT(inb,1,len<<1);
    for(int i=0;i<len<<1;i++) ina[i]=mul(ina[i],add(2,mod-mul(ina[i],inb[i])));
    NTT(ina,0,len<<1);
    for(int i=0;i<len;i++) b[i]=ina[i];
}
void inter(int *a,int n){for(int i=n;i;i--)a[i]=mul(a[i-1],Inv[i]);a[0]=0;}
void drev(int *a,int n){for(int i=0;i<n;i++)a[i]=mul(a[i+1],i+1);a[n]=0;}
void polyln(int *a,int *b,int len)
{
    for(int i=0;i<len<<1;i++) lna[i]=lnb[i]=0;
    for(int i=0;i<len;i++) lna[i]=a[i];
    polyinv(lna,lnb,len);
    drev(lna,len-1);
    NTT(lna,1,len<<1),NTT(lnb,1,len<<1);
    for(int i=0;i<len<<1;i++) lna[i]=mul(lna[i],lnb[i]);
    NTT(lna,0,len<<1);
    inter(lna,len-1);
    for(int i=0;i<len;i++) b[i]=lna[i];
}
void polyexp(int *a,int *b,int len)
{
    if(len==1){b[0]=1;return;}
    polyexp(a,b,len>>1);
    for(int i=0;i<len<<1;i++) exa[i]=exb[i]=0;
    polyln(b,exa,len);
    for(int i=0;i<len;i++) exa[i]=add(a[i]+(i==0),mod-exa[i]);
    for(int i=0;i<len;i++) exb[i]=b[i];
    NTT(exa,1,len<<1),NTT(exb,1,len<<1);
    for(int i=0;i<len<<1;i++) exa[i]=mul(exa[i],exb[i]);
    NTT(exa,0,len<<1);
    for(int i=0;i<len;i++) b[i]=exa[i];
}
int main()
{
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int v,i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v),++cnt[v];
    ++m;int len=1;while(len<m) len<<=1;
    Inv[0]=1;for(int i=1;i<=len;i++) Inv[i]=qp(i,mod-2);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=i;j<=m;j+=i)
            G[j]=add(G[j],mul(cnt[i],Inv[j/i]));
    polyexp(G,ans,len);
    for(int i=1;i<m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

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2018.12.29