洛谷 P4389 付公主的背包解题报告

P4389 付公主的背包

题目背景

付公主有一个可爱的背包qwq

题目描述

这个背包最多可以装$10^5$大小的东西

付公主有$n$种商品，她要准备出摊了

每种商品体积为$V_i$，都有$10^5$件

给定$m$，对于$s\in [1,m]$，请你回答用这些商品恰好装$s$体积的方案数

输入输出格式

输入格式：

第一行$n,m$

第二行$V_1\sim V_n$

输出格式：

$m$行，第$i$行代表$s=i$时方案数，对$998244353$取模

说明

对于$30\%$的数据，$n\le 3000,m\le 3000$

对于$60\%$的数据，纯随机生成

对于$100\%$的数据， $n\le 100000,m\le 100000$

对于$100\%$的数据，$V_i\le m$

先构造一波生成函数

\[F_k(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{iv_k}=\frac{1}{1-x^{v_k}}
\]

然后答案是$n$个东西卷起来，复杂度高达$O(nm\log m)$，显然苟不住

不妨把$n$个函数都取对数，然后就成了多项式加法，可以直接枚举倍数做到$O(m\ln m)$，现在考虑如何转换成为对数

\[\begin{aligned}
G&=\ln F\\
G'&=\frac{F'}{F}\\
&=(1-x^v)\sum_{i=0}^\infty vix^{vi-1}\\
&=\sum_{i=0}^\infty vix^{vi-1}-\sum_{i=0}^\infty vix^{v(i+1)-1}\\
&=\sum_{i=0}^\infty vix^{vi-1}-\sum_{i=0}^\infty v(i-1)x^{vi-1}\\
&=\sum_{i=0}^\infty vix^{vi-1}\\
G&=\int G'\\
&=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i}x^{vi}
\end{aligned}
\]

于是我们需要实现的就只有多项式exp啦

Code:

#include <cstdio>

#include <algorithm>

const int N=(1<<18)+10;

const int mod=998244353,Gi=332748118;

#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)

#define add(a,b) ((a+b)%mod)

int ans[N],G[N],turn[N],ina[N],inb[N],lna[N],lnb[N],exa[N],exb[N],cnt[N],Inv[N];

int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}

void NTT(int *a,int typ,int len)

{

    int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1) ++L;

    for(int i=0;i<len;i++)

    {

        turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L;

        if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);

    }

    for(int le=1;le<len;le<<=1)

    {

        int wn=qp(typ?3:Gi,(mod-1)/(le<<1));

        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)

        {

            int w=1;

            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))

            {

                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);

                a[i]=add(tx,ty);

                a[i+le]=add(tx,mod-ty);

            }

        }

    }

    if(!typ)

    {

        int inv=qp(len,mod-2);

        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);

    }

}

void polyinv(int *a,int *b,int len)

{

    if(len==1){b[0]=qp(a[0],mod-2);return;}

    polyinv(a,b,len>>1);

    for(int i=0;i<len<<1;i++) ina[i]=inb[i]=0;

    for(int i=0;i<len;i++) ina[i]=b[i],inb[i]=a[i];

    NTT(ina,1,len<<1),NTT(inb,1,len<<1);

    for(int i=0;i<len<<1;i++) ina[i]=mul(ina[i],add(2,mod-mul(ina[i],inb[i])));

    NTT(ina,0,len<<1);

    for(int i=0;i<len;i++) b[i]=ina[i];

}

void inter(int *a,int n){for(int i=n;i;i--)a[i]=mul(a[i-1],Inv[i]);a[0]=0;}

void drev(int *a,int n){for(int i=0;i<n;i++)a[i]=mul(a[i+1],i+1);a[n]=0;}

void polyln(int *a,int *b,int len)

{

    for(int i=0;i<len<<1;i++) lna[i]=lnb[i]=0;

    for(int i=0;i<len;i++) lna[i]=a[i];

    polyinv(lna,lnb,len);

    drev(lna,len-1);

    NTT(lna,1,len<<1),NTT(lnb,1,len<<1);

    for(int i=0;i<len<<1;i++) lna[i]=mul(lna[i],lnb[i]);

    NTT(lna,0,len<<1);

    inter(lna,len-1);

    for(int i=0;i<len;i++) b[i]=lna[i];

}

void polyexp(int *a,int *b,int len)

{

    if(len==1){b[0]=1;return;}

    polyexp(a,b,len>>1);

    for(int i=0;i<len<<1;i++) exa[i]=exb[i]=0;

    polyln(b,exa,len);

    for(int i=0;i<len;i++) exa[i]=add(a[i]+(i==0),mod-exa[i]);

    for(int i=0;i<len;i++) exb[i]=b[i];

    NTT(exa,1,len<<1),NTT(exb,1,len<<1);

    for(int i=0;i<len<<1;i++) exa[i]=mul(exa[i],exb[i]);

    NTT(exa,0,len<<1);

    for(int i=0;i<len;i++) b[i]=exa[i];

}

int main()

{

    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int v,i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v),++cnt[v];

    ++m;int len=1;while(len<m) len<<=1;

    Inv[0]=1;for(int i=1;i<=len;i++) Inv[i]=qp(i,mod-2);

    for(int i=1;i<=m;i++)

        for(int j=i;j<=m;j+=i)

            G[j]=add(G[j],mul(cnt[i],Inv[j/i]));

    polyexp(G,ans,len);

    for(int i=1;i<m;i++) printf("%d\n",ans[i]);

    return 0;

}

2018.12.29