支持向量机-完整Platt-SMO算法加速优化

完整版SMO算法与简单的SMO算法：

实现alpha的更改和代数运算的优化环节一模一样，唯一的不同就是选择alpha的方式。完整版应用了一些能够提速的方法。

同样使用Jupyter实现，后面不在赘述

参考地址：https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/6.SVM/svm-complete_Non-Kernel.py

1. 加载数据（与SMO相同）

from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt

def loadDataSet(fileName):
    """loadDataSet（对文件进行逐行解析，从而得到第行的类标签和整个数据矩阵）
    Args:
        fileName 文件名
    Returns:
        dataMat  数据矩阵
        labelMat 类标签
    """
    dataMat = []
    labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(float(lineArr[2]))
    return dataMat, labelMat

2. 辅助函数（与SMO相同）

def clipAlpha(aj, H, L):
    """clipAlpha(调整aj的值，使aj处于 L<=aj<=H)
    Args:
        aj  目标值
        H   最大值
        L   最小值
    Returns:
        aj  目标值
    """
    if aj > H:
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj

3. 完整版SMO算法的支持函数

　　1. 构建一个仅包含init方法的optStruct类，来保存所有的重要值

# 1. 误差缓存
class optStruct:
    def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler):  # Initialize the structure with the parameters
        self.X = dataMatIn
        self.labelMat = classLabels
        self.C = C
        self.tol = toler
        self.m = shape(dataMatIn)[0]
        self.alphas = mat(zeros((self.m, 1)))
        self.b = 0
        self.eCache = mat(zeros((self.m, 2)))

　　2. 计算E值并返回

# 2. 预测结果与真实结果比对，计算误差Ek
def calcEk(oS, k):
    """calcEk（求 Ek误差：预测值-真实值的差）
    该过程在完整版的SMO算法中陪出现次数较多，因此将其单独作为一个方法
    Args:
        oS  optStruct对象
        k   具体的某一行
    Returns:
        Ek  预测结果与真实结果比对，计算误差Ek
    """
    fXk = float(multiply(oS.alphas, oS.labelMat).T * (oS.X * oS.X[k, :].T)) + oS.b
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek

　　3. 选择第二个alpha。选择合适的第二个alpha以保证每次优化采用最大步长

def selectJ(i, oS, Ei):  # this is the second choice -heurstic, and calcs Ej
    """selectJ（返回最优的j和Ej）
    内循环的启发式方法。
    选择第二个(内循环)alpha的alpha值
    这里的目标是选择合适的第二个alpha值以保证每次优化中采用最大步长。
    该函数的误差与第一个alpha值Ei和下标i有关。
    Args:
        i   具体的第i一行
        oS  optStruct对象
        Ei  预测结果与真实结果比对，计算误差Ei
    Returns:
        j  随机选出的第j一行
        Ej 预测结果与真实结果比对，计算误差Ej
    """
    maxK = -1
    maxDeltaE = 0
    Ej = 0
    oS.eCache[i] = [1, Ei]
    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:, 0].A)[0]
    if (len(validEcacheList)) > 1:
        for k in validEcacheList:  # 在所有的值上进行循环，并选择其中使得改变最大的那个值
            if k == i:
                continue  # don't calc for i, waste of time

            # 求 Ek误差：预测值-真实值的差
            Ek = calcEk(oS, k)
            deltaE = abs(Ei - Ek)
            if (deltaE > maxDeltaE):
                maxK = k
                maxDeltaE = deltaE
                Ej = Ek
        return maxK, Ej
    else:  # 如果是第一次循环，则随机选择一个alpha值
        j = selectJrand(i, oS.m)

        # 求 Ek误差：预测值-真实值的差
        Ej = calcEk(oS, j)
    return j, Ej

　　4. 计算误差值并存入缓存中

def updateEk(oS, k):  # after any alpha has changed update the new value in the cache
    """updateEk（计算误差值并存入缓存中。）
    在对alpha值进行优化之后会用到这个值。
    Args:
        oS  optStruct对象
        k   某一列的行号
    """

    # 求 误差：预测值-真实值的差
    Ek = calcEk(oS, k)
    oS.eCache[k] = [1, Ek]

4. 完整版Platt SMO算法的优化例程

def innerL(i, oS):
    """innerL
    内循环代码
    Args:
        i   具体的某一行
        oS  optStruct对象
    Returns:
        0   找不到最优的值
        1   找到了最优的值，并且oS.Cache到缓存中
    """

    # 求 Ek误差：预测值-真实值的差
    Ei = calcEk(oS, i)

    # 约束条件 (KKT条件是解决最优化问题的时用到的一种方法。我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数，求其在指定作用域上的全局最小值)
    # 0<=alphas[i]<=C，但由于0和C是边界值，我们无法进行优化，因为需要增加一个alphas和降低一个alphas。
    # 表示发生错误的概率：labelMat[i]*Ei 如果超出了 toler， 才需要优化。至于正负号，我们考虑绝对值就对了。
    '''
    # 检验训练样本(xi, yi)是否满足KKT条件
    yi*f(i) >= 1 and alpha = 0 (outside the boundary)
    yi*f(i) == 1 and 0<alpha< C (on the boundary)
    yi*f(i) <= 1 and alpha = C (between the boundary)
    '''
    if ((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
        # 选择最大的误差对应的j进行优化。效果更明显
        j, Ej = selectJ(i, oS, Ei)
        alphaIold = oS.alphas[i].copy()
        alphaJold = oS.alphas[j].copy()

        # L和H用于将alphas[j]调整到0-C之间。如果L==H，就不做任何改变，直接return 0
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L == H:
            print("L==H")
            return 0

        # eta是alphas[j]的最优修改量，如果eta==0，需要退出for循环的当前迭代过程
        # 参考《统计学习方法》李航-P125~P128<序列最小最优化算法>
        eta = 2.0 * oS.X[i, :] * oS.X[j, :].T - oS.X[i, :] * oS.X[i, :].T - oS.X[j, :] * oS.X[j, :].T
        if eta >= 0:
            print("eta>=0")
            return 0

        # 计算出一个新的alphas[j]值
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta
        # 并使用辅助函数，以及L和H对其进行调整
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j], H, L)
        # 更新误差缓存
        updateEk(oS, j)

        # 检查alpha[j]是否只是轻微的改变，如果是的话，就退出for循环。
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
            print("j not moving enough")
            return 0

        # 然后alphas[i]和alphas[j]同样进行改变，虽然改变的大小一样，但是改变的方向正好相反
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j] * oS.labelMat[i] * (alphaJold - oS.alphas[j])
        # 更新误差缓存
        updateEk(oS, i)

        # 在对alpha[i], alpha[j] 进行优化之后，给这两个alpha值设置一个常数b。
        # w= Σ[1~n] ai*yi*xi => b = yj Σ[1~n] ai*yi(xi*xj)
        # 所以：  b1 - b = (y1-y) - Σ[1~n] yi*(a1-a)*(xi*x1)
        # 为什么减2遍？ 因为是 减去Σ[1~n]，正好2个变量i和j，所以减2遍
        b1 = oS.b - Ei - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.X[i, :] * oS.X[i, :].T - oS.labelMat[j] * (oS.alphas[j] - alphaJold) * oS.X[i, :] * oS.X[j, :].T
        b2 = oS.b - Ej - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.X[i, :] * oS.X[j, :].T - oS.labelMat[j] * (oS.alphas[j] - alphaJold) * oS.X[j, :] * oS.X[j, :].T
        if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]):
            oS.b = b1
        elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]):
            oS.b = b2
        else:
            oS.b = (b1 + b2) / 2.0
        return 1
    else:
        return 0

这个函数与smosimple很像。有几点不同：1.使用selectJ()而不是selectJrand()来选择第二个alpha值。2. 在alpha值改变时更新Ecache。不同处代码中用黄色表示

5. 完整版Platt SMO的外循环代码

def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    """
    完整SMO算法外循环，与smoSimple有些类似，但这里的循环退出条件更多一些
    Args:
        dataMatIn    数据集
        classLabels  类别标签
        C   松弛变量(常量值)，允许有些数据点可以处于分隔面的错误一侧。
            控制最大化间隔和保证大部分的函数间隔小于1.0这两个目标的权重。
            可以通过调节该参数达到不同的结果。
        toler   容错率
        maxIter 退出前最大的循环次数
    Returns:
        b       模型的常量值
        alphas  拉格朗日乘子
    """

    # 创建一个 optStruct 对象
    oS = optStruct(mat(dataMatIn), mat(classLabels).transpose(), C, toler)
    iter = 0
    entireSet = True
    alphaPairsChanged = 0

    # 循环遍历：循环maxIter次 并且 （alphaPairsChanged存在可以改变 or 所有行遍历一遍）
    # 循环迭代结束 或者 循环遍历所有alpha后，alphaPairs还是没变化
    while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
        alphaPairsChanged = 0

        #  当entireSet=true or 非边界alpha对没有了；就开始寻找 alpha对，然后决定是否要进行else。
        if entireSet:
            # 在数据集上遍历所有可能的alpha
            for i in range(oS.m):
                # 是否存在alpha对，存在就+1
                alphaPairsChanged += innerL(i, oS)
                print("fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
            iter += 1
        # 对已存在 alpha对，选出非边界的alpha值，进行优化。
        else:
            # 遍历所有的非边界alpha值，也就是不在边界0或C上的值。
            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
            for i in nonBoundIs:
                alphaPairsChanged += innerL(i, oS)
                print("non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
            iter += 1

        # 如果找到alpha对，就优化非边界alpha值，否则，就重新进行寻找，如果寻找一遍 遍历所有的行还是没找到，就退出循环。
        if entireSet:
            entireSet = False  # toggle entire set loop
        elif (alphaPairsChanged == 0):
            entireSet = True
        print("iteration number: %d" % iter)
    return oS.b, oS.alphas

dataArr, labelArr = loadDataSet('F:/迅雷下载/machinelearninginaction/Ch06/testSet.txt')
b, alphas = smoP(dataArr, labelArr, 0.6, 0.001, 40)

fullSet, iter: 0 i:0, pairs changed 1
fullSet, iter: 0 i:1, pairs changed 1
...

fullSet, iter: 0 i:6, pairs changed 4
fullSet, iter: 0 i:7, pairs changed 4
j not moving enough
fullSet, iter: 0 i:8, pairs changed 4
fullSet, iter: 0 i:9, pairs changed 4
...

6. 基于alpha值得到超平面，计算w值

# 基于alpha值计算w值
def calcWs(alphas, dataArr, classLabels):
    """
    基于alpha计算w值
    Args:
        alphas        拉格朗日乘子
        dataArr       feature数据集
        classLabels   目标变量数据集
    Returns:
        wc  回归系数
    """
    X = mat(dataArr)
    labelMat = mat(classLabels).transpose()
    m, n = shape(X)
    w = zeros((n, 1))
    for i in range(m):
        w += multiply(alphas[i] * labelMat[i], X[i, :].T)
    return w

ws = calcWs(alphas, dataArr, labelArr)
ws

array([[ 0.65433215],
       [-0.3462154 ]])
对第一个数据点进行分类：

datMat = mat(dataArr)
datMat[0]*mat(ws) + b

matrix([[-1.20033343]])
如果该值大于0，那么其属于1类；如果该值小于0，那么属于-1类，对于数据点0，应该得到类别标签是-1

labelArr[0]

-1.0
继续检查其他数据分类结果的正确性：

datMat[2]*mat(ws) + b

matrix([[2.65453687]])

labelArr[2]

1.0

datMat[1]*mat(ws) + b

matrix([[-1.7433995]])

labelArr[1]

-1.0

7. 画图

def plotfig_SVM(xArr, yArr, ws, b, alphas):
    """
    参考地址：
       http://blog.csdn.net/maoersong/article/details/24315633
       http://www.cnblogs.com/JustForCS/p/5283489.html
       http://blog.csdn.net/kkxgx/article/details/6951959
    """

    xMat = mat(xArr)
    yMat = mat(yArr)

    # b原来是矩阵，先转为数组类型后其数组大小为（1,1），所以后面加[0]，变为(1,)
    b = array(b)[0]
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)

    # 注意flatten的用法
    ax.scatter(xMat[:, 0].flatten().A[0], xMat[:, 1].flatten().A[0])

    # x最大值，最小值根据原数据集dataArr[:, 0]的大小而定
    x = arange(-1.0, 10.0, 0.1)

    # 根据x.w + b = 0 得到，其式子展开为w0.x1 + w1.x2 + b = 0, x2就是y值
    y = (-b-ws[0, 0]*x)/ws[1, 0]
    ax.plot(x, y)

    for i in range(shape(yMat[0, :])[1]):
        if yMat[0, i] > 0:
            ax.plot(xMat[i, 0], xMat[i, 1], 'cx')
        else:
            ax.plot(xMat[i, 0], xMat[i, 1], 'kp')

    # 找到支持向量，并在图中标红
    for i in range(100):
        if alphas[i] > 0.0:
            ax.plot(xMat[i, 0], xMat[i, 1], 'ro')
    plt.show()

plotfig_SVM(dataArr, labelArr, ws, b, alphas)