Luogu P11036 GCD 与 LCM 问题 [ 绿 ] [ 构造 ] [ 数论 ] [ adhoc ]

Luogu P11036 GCD 与 LCM 问题：梦熊的题真是又神又逆天。

思路

观察到有个奇数的特殊性质，我们尝试从奇数构造入手。

先来尝试带入极端数据，对于 \(\gcd\)，我们可以把 \(b=1\) 的情况先带进去看看。

\[a+b+c+d=\gcd(a,b)+\operatorname{lcm}(c,d)
\]

\[a+1+c+d=1+\operatorname{lcm}(c,d)
\]

\[a+c+d=\operatorname{lcm}(c,d)
\]

奇数情况

我们尝试在 \(a\) 为奇数的情况解这个方程。

首先我们依然是进行极端构造，先把 \(c=1\) 带入，可得：

\[a+1+d=d
\]

发现 \(d\) 被消去，我们无法求出 \(d\)，所以我们要让 \(d\) 的系数加倍，以防止被抵消。

于是我们尝试把 \(c=2\) 带入，并且强制让 \(d\) 变成奇数，这样才能让这个 \(2\) 起效果。

\[a+2+d=2d
\]

\[d=a+2
\]

其中，\(a,d\) 皆为奇数，所以成立。

所以：

\[b=1,c=2,d=a+2
\]

场上我只想得出这个奇数构造了，偶数的没有想出来。现在看来我就是个傻逼。

偶数情况

我们发现奇数情况是不适用偶数情况的，所以要另辟蹊径。

于是我们要想办法让偶数情况变成奇数情况。

怎么变？

尝试把 \(a\) 中所有的 \(2\) 提出来，\(a\) 就变成奇数了！

这时：

\[a=2^k*p
\]

其中 \(p\) 为奇数。

所以我们可以对 \(p\) 的情况进行构造，然后将 \(c,d\) 同时乘上 \(2^k\) 输出就好了。

为什么不会超过限制？因为 \(d\) 最多才 \(a+2\)，也就是说他最多比 \(a\) 要大 \(2^30\)，极端情况下也只有 \(2^{30}+2^{29}=1610612736\)，刚好卡过！

注意 \(b\) 不用扩倍，因为他立刻就能被消去。

总结

这题其实重点在于考虑从特殊性质入手，然后进行极端构造，最后尝试把难以解决的情况化为之前我们以及解决了的问题。是一道很好的构造练习题。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pi;
int t;
ll a,b,c,tms;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>a;
		tms=1;
		while(a%2==0)
		{
			a/=2;
			tms*=2;
		}
		cout<<1<<' '<<2*tms<<' '<<(a+2)*tms<<endl;
	}
	return 0;
}