lim x→c⁡ f⁢(x) = L数学语言:∀ ϵ>0, ∃ δ>0 S.T. for all x≠c, if |x-c|<δ, then |f⁢(x)-L|<ϵ 常用记号: “∃ ”:“存在”或“可以找到”，“∀ ”: “对于任意的”或“对于每一个”, maxS:数集S极大值, minS:数集S极小值, supS:上确界(上界最小值), infS下确界(下界最大值)

实数集Completeness Axiom(连续性公理)

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Q: 谬论: "实数集上, 怎么求出点A“相邻”的那一点, 或A点的“下一点”?

或 "数轴(Real line)上, 存在相邻的两个点?”

A: 数轴(Real line)上 不存在相邻的两点, 也“不存在下一个点”,

对任何不同两点, 都是连续的Interval(区间),

即使其长度"多短", 都包含无限多连续的点; 可无限划分.

这是实数集的Completeness Axiom(完备性公理, 或稠密性原理);

证明方法可用 Dedekind cut(戴德金分割)

https://www.math.columbia.edu/~harris/2000/2016Dedcuts.pdf

https://brilliant.org/wiki/dedekind-cuts/



\(proof\): 假设存在“相连的两点”: \(\large A,\ B\),

那么:

1. 如果 \(\large A,\ B\) 是“同一点”, 就不能称为“两点”;
2. 如果此两点不同且“相邻”, 却总存在之间的第三点 \(\large C = (A+B)/2\)

确界存在定理——实数系连续性定理:

• 非空有上界的数集 必有 上确界；
• 非空有下界的数集 必有 下确界。

常用数学分析的记号:

\(\large \begin{array}{rl} \\
\bm{ \exists }: & 存在 \text{ 或 }可以找到 \\
\bm{ \forall }: & 对于任意的 \text{ 或 }对于每一个 \\
\bm{ s.t. }: & Such\ That/因此有/所以 \\
\\
\text{For example}: \\
\end{array}\)

A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A, 有 x ∈ B，
A ⊄ B ⇔ ∃ x∈ A, 使得x ∉ B。

\(\large \begin{array}{lrl} \\
\overset{}{\underset{x \rightarrow 1}{\lim}} {f(x)=L},\text{ means that } \\
\text{ } \text{ given any } \epsilon>0, \text{ there exists } \sigma>0, \text{ such that } \\
\text{ } \forall x \neq c, \text{ if }\ |x-c|<δ, \text{ then } |f⁢(x)-L|<\epsilon \\
\\
\overset{}{\underset{x \rightarrow c}{\lim}} {f(x)=L},\text{ means that } \\
\text{ } \forall \epsilon>0, \exists \sigma>0, s.t.
\text{ } \forall x \neq c, \text{ if } |x-c|<\sigma, \text{ then } |f⁢(x)-L|<\epsilon \\
\end{array}\)

minS:极小值 与 maxS:极大值

设S是一个数集，

minS: 如果 ∃ ξ ∈S ，使得 ∀ x ∈ S，有 ξ ≤ x，则称 ξ 是数集 S 的最小数，并记为 ξ = minS；

maxS: 如果 ∃ η ∈S ，使得 ∀ x ∈S , 有 η ≥ x，则称 η 是数集 S 的最大数，并记为 η = maxS。

例: 集合B = {x| 0 ≤ x <1} 没有最大数。证明用反证法。

假设: 集合B有最大数记为β。由 β ∈[0, 1)，可知:

β′ =(1+β)/2 ∈[0, 1)。 但是 β < β′ ，

这就与β是集合B的最大数的假设发生矛盾。

所以集合B没有最大数。

上确界与下确界

设 S 是一个非空数集，

如果 ∃ M∈R, 使得∀ x∈S, 有x ≤ M, 则称 M 是 S 的一个 上界；

如果 ∃ m∈R, 使得∀ x∈S, 有x ≥ m, 则称 m 是 S 的一个 下界。

当数集S既有上界，又有下界时，称S为有界集。

设数集 S 有上界，记 U 为 S 的上界全体所组成的集合，则显然 U 不可能有最大数，

设 U 的最小数为 β，就称 β 为数集 S 的上确界(即最小上界), 记为 β = sup S。

上确界 β 满足下述两个性质：

1. β 是数集 S 的上界：∀ x∈ S，有 x ≤ β;

2. 任何小于 β 的数不是数集 S 的上界：∀ ε > 0，∃ x ∈ S,使得 x > β - ε。

若数集 S 有下界，记 L 为 S 的下界全体所组成的集合，则显然 L 不可能有最小数，

设 L 的最大数为 α，就称 α 为数集 S 的下确界(即最大下界), 记为 α = inf S。

下确界α满足下述两个性质：

1. α 是数集 S 的下界：∀ x ∈S，有 α ≤ x;

2. 任何大于 α 的数不是数集 S 的下界：∀ ε > 0，∃ x ∈S，使得 x < ε + α 。

证明：确界存在定理——实数系连续性定理

非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

证： 任何一个实数x可表示成 x=［x］+( x)，

其中［x］表示 x 的整数部分，(x) 表示 x 的非负小数部分。

将( x)表示成无限小数的形式: ( x) = 0.a1, a2, …,an, …,

其中a1, a2，… , an 中的每一个都是数字0，1，2，…，9中的一个，

若 (x) 是 有限小数，则在后面接上无限个0。

注 无限小数 0.a1, a2, …, ap 000…(ap ≠ 0)

与无限小数 0.a1, a2, …,(ap-1) 999… 是相等的，

为了保持表示的唯一性，约定在(x)的无限小数表示中不出现后者。

这样，任何一个实数集合 S 就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:

｛ a0 + 0.a1a2…an…｜a0 =［x], 0.a1a2…an… = (x), x∈S ｝

R以小数表示有三种类型：

Rational number: Q有理数集(可由Z整数集任意两元数p/q表示且q≠0):

A. 有限小数:Z0/(10^k), Z0表示有效小数表示；

B.无限循环小数:m/n(例1/3,1/9,…)；

Irrational number:

C.无限不循环小数:

C0: x^2=PrimeNumber, 例x^2=2, 3, 7, 11, …, (因为素数仅能为1与其本身整除)

证明PrimeNumber有无限个用反证法:

假设仅有n个: A1,…,An, 构造 A0=A1A2…*An + 1 为大于An的新素数.

C1: 常用常数: e, pi

C2. 分形几何/几何划分构造:

PI: 割圆术

SnowFlake△外内无限生长面积小于两杯初始面积

Pentagon五角星无限内嵌,…

C3.其它无理数

Q有理数集合不完备(两整数构造出p/q, 外延与内分 都是无限多):

Q1 总整数的个数是无限大的Infinite / ∞，

Q2 可无限分割: 任意两个不等的有理数p和q之间的 有理数个数 也是无限多的;

减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，无穷小是无穷大的逆；

Q3 有理数集Q对÷运算不完备: x*x=2 或任一 PrimeNumber 并不能在 Z整数集 与 ÷运算 上构造出.

R实数集的完备性 与 Number Theory:

R0 实数集完备性 可 由 Dedekind cut 戴德金分割 在 Set Theory集合论上证明；

R1 数集的完备性是 相对于 运算 而定的，

通常称 R实数集的完备性 是指 R 对 (+、× 、≤)的完备性，即 实数公理化(FOC)理论;

R2 实数对“开方运算”不完备: 例 x*x = -1 (i虚数单位) 此时的x并不能由 R 实数集表示

Number Theory数论学科, 人类数学家们由 N, Z, Q, R, C, Matrix, Tensor,

C(Complex复数集合)之上: 有专门的 Complex Analysis复分析;

Infinity无限/limit极限/∞无穷(+∞, -∞):

Unity of:

• Dynamically to Constantly,
• Relatively to Absolutely,
• Qualitative to Quantitative,
• Process to Result,
• 负负得正.

Infinity/Limit 分析基于三点: 完备性数集, 无穷大近似, 与无穷小近似.

什么是无限Infinity、无穷大∞、无穷小Delta:

建立Infinity/Limit/∞ 是人类对客观规律认知的深化，理论完善与实践需要的统一: 完备、严密性、指导性、普遍适用性;

真实世界的多数人面对的量是：可测度的，可数的、有限的,

其实还有许多无限的；

例如: 海鱼个数不是∞，世界人口与土地不是∞, 而Z正整数集合的个数是∞

Q有理数集 和 R实数集 都有 稠密性Archimedean Theorem(外延无穷大近似 加 内分割无穷小近似);

Q0 Q有理数 构造自 p/q, q≠0；p∈Z, q∈Z; 即 p = n·q + r/q (n是整数, r是余数, r<q)

Q1 总整数的个数是无限大的Infinite / ∞(Z整数集有外延无穷大近似，但是无内分割无穷小近似)

Q2 可无限分割: 任意两个不等的有理数p和q之间的 有理数个数 也是无限多的;

减法是以加法定义，除法是以乘法定义，无穷小是以无穷大定义；

Q3 有理数集Q对÷运算不完备: x*x=2 或任一 PrimeNumber 并不能在 Z整数集 与 ÷运算 上构造出.

R实数集完备性; 即连续性，两个不等实数之间有连续的无限多个，且每一个都属于实数集合；

形象化描述是，实数数轴，任意一段都是连续的，可任意无穷可微分可积分，

即R对(≤, +, -, ×, ÷)封闭(前提是规定\(x^2 > 0\))；

实数公理化：

1. Dedekind cut;
2. Hilbert 实数公理化系统:
   
   设 R 是一个集合，带有 “+”(加法) 和 “×”(乘法) 两种运算以及 一种 “≤”(小于等于)Order(序关系);
   
   进一步：x ＜ y (也记为 y ＞ x)表示 x ≤ y 且 x ≠ y;
   
   满足以下 F.O.C. 的系统(R, +, ×, ≤) 称为实数系，简记为 R, 它的元数称为 实数：
   
   F(域公理)：(R, +, ×)是一个域(对+与×运算封闭):
   
   Add(4):
   
   A1加法结合律, A2加法交换律,
   
   A3存在加法单位元0(∀ x∈R, ∃ 0∈R, S.T. x+0=x)
   
   4存在加法负元(∀ x∈R, ∃ y∈R, S.T. x+y=0, 此时y记为“-x”，即 x + (-x) = 0 )
   
   Multiple(5):
   
   M1乘法结合律, M2乘法交换律,
   
   M3存在乘法单位元1(∀ x∈R, ∃ 1∈R, S.T. x×1=x)
   
   M4存在乘法逆元(∀ x∈R, ∃ y∈R, y ≠ 0; S.T. x×y=1, 此时y记为“1/x或x^(-1)”，即 x × (1/x) = 1 )
   
   M5乘法对加法的分配律
   
   Order(5):
   
   O1反对称性, O2传递性, O3全序性, O4序对加法的保序性, O5序对乘法保序性.
   
   Continuity(2):
   
   C1Archimedes Theorem(阿基米德公理): ∀ y∈R, x∈R, x > 0; ∃ n∈R, S.T. n × x > y)
   
   Archimedes theorem分两种: 一种是外延无穷大近似，一种是内分割无穷小近似;
   
   C2完备公理: 若 Rx 是 R 的超集, 且 (Rx, +, ×, ≤)满足上述 F.O.C1 公理, 则 Rx = R

Infinity无限的量化科学:

1. FOC实数公理化理论: 首先要在一个 Field数域上，建立运算及其规则，来度量,
   
   数学分析/现代分析理论 建立在 集合论+公理化实数集 之上.

2. limit极限理论: 建立在 R完备性公理化的实数集: Set theory集合论之上的
   
   即: limit 极限 是 x, y 的 动态变化/静态关系、无限/有限、量变/质变、过程/结果, Absolute/Relative, 任意(不确定性)/规律(确定性)，的统一

2.1 Cauchy 的数列 limit理论；建立在Series数列, R实数集, Set theory集合论之上

2.2 limit数量化(∀ϵ∃δ的Karl Weierstrass的Quantitative语言)理论:

lim x→c⁡ f⁢(x) = L: ∀ ϵ>0, ∃ δ>0 S.T. for all x≠c, if |x-c|<δ, then |f⁢(x)-L|<ϵ .

2.3 Calculus微积分理论 在完备性的R实数集之上：

一元(单变量)：

secant割 + line(线)/plane(平面)

tangent切 + line(线)/plane(平面)

slope斜率

derivative/differential coefficient导数/微分系数, d f(x) / dx

Differentiatial: 微分

Integral: 积分

High-order 一至高阶导数；

Taylor 多项式 调和 及多种余项公式

导数及积分的运算规律；

多元：多元组合: 相互独立

3 构造满足特别条件的函数的方法

3.1参考 由 Fermat费马定理(极值点处导数为0)，构造证明 三个x 在有界[a,b]连续, (a, b)可导的中值定理:

3.11Rolle 中值定理(矩形水平切线点存在)：if f(a) = f(b), ∃ x = ε∈(a, b) 有 f'(ε) = 0

3.12 Lagrange 中值定理(平行四边形平行切线点存在)：f(a) 与 f(b) 可不等,

3.12.1 有限增量点存在形式: ∃ x = ε∈(a, b) 有 f(b) - f(a) = (b - a)·f'(ε)

3.12.2 切割线合一点存在形式: ∃ x = ε∈(a, b) 有 f'(ε) =( f(b) - f(a) ) / (b - a)

3.12.3 待定(概率或参数)形式: x∈(a, b) 且设 ε∈(0, 1), 写成 a + ε·(b-a) 或 (1-ε)·a + ε·b

3.13 Cauchy 中值定理: f(x) 与 g(x) ∃ x = ε∈(a, b) 使 ( f(b) - f(a) )/( g(b) - g(a) ) = f'(ε)/g'(ε)

Cauchy中值定理可视为 由参数方程确定的函数 所对应的 Lagrange中值定理。

3.14 微分Darboux 达布定理:（可微区间上导函数连续定理):

f(x)在[a, b]可微分, 且f'(a)<f'(b), S.T. ∀ ε ∈(f'(a), f'(b)),∃ x0∈(a, b) , S.T. f'(x0) = ε



3.2 先构造低阶后积分：

先用 构造 低阶隐函数的 等式与不等式，倒推出对其 导数及导数运算式；

后用 积分 构造出满足特别条件的 隐函数(等式/不等式)



3.3 先构造高阶后微分:

先用 构造 高阶导函数的 等式与不等式，倒推出对其 微分及求导运算式；

后用 微分 构造出满足特别条件的 隐函数(等式与不等式)