P3571「POI2014」SUP-Supercomputer 题解

一道 “较” 水的黑题（可一开始苦思冥想还是不会）。

本蒟蒻的第一篇黑题题解，求赞。

题意简化

给定一棵 \(n\) 个节点、根节点为 \(1\) 的有根树。\(q\) 次询问中每次给定一个 \(k\)，输出需要最少用几次操作次数删除完整棵树。每次操作可以选择删除不超过 \(k\) 个未访问的点，且这些点 没有父亲。（血腥的味道）

前置知识

有一个小小的结论：存在一个 \(i\)，满足可以用 \(i\) 次操作删掉所有深度小于等于 \(i\) 的点，剩下的操作每次都删掉 \(k\) 个点。

形式化地，设 \(f_k\) 为 \(k\) 对应的答案，\(s_i\) 是深度大于 \(i\) 的点数，有：

\[f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i
\]

Why？

显然，要证明 \(f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)，转换为不等式，可分别证明 \(f_k\ge\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\) 和 \(f_k\le\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)：

证明 \(f_k\ge\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\) ：

可以注意到一个性质，要删除至少一个深度为 \(i\) 的点，至少需要 \(i\) 次操作。那么有 \(f_k\ge \max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)。
证明 \(f_k\le\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\) ：

设 \(f_{k,i}=i+\lceil\frac{s_i}{k}\rceil\)，\(f_{k,i}\) 在 \(i=a\) 时取最大值。我们假设 \(b\) 步可以删除完前 \(b\) 层的节点，且这是满足条件的最大的 \(b\)，即证 \(a=b\)。
- 先证 \(a\ge b\)：对于 \(c<b\)，若 \(f_{k,c}>f_{k,b}\)，则深度范围在 \((c,b]\) 之间的点数大于 \(k(b−c)\)，删掉一个第 \(c\) 层的点至少要 \(c\) 步，删掉 \(c+1\) 到 \(b\) 层的所有点要大于 \((b−c)\) 步，那么前 \(b\) 层肯定 \(b\) 次删不完，矛盾。因此 \(a\ge b\)。
- 再证 \(a\le b\)：
  1. 第 \(b+1\) 层一定有超过 \(k\) 个节点，\(f_{k,b+1}\le f_{k,b}\)。
  2. 若第 \(b+1\)，\(b+2\) 层点数之和不超过 \(2k\)，那么第 \(b+2\) 层的点数一定不足 \(b+1\) 层的，我们可以 \(b+2\) 次删除完前 \(b+2\) 层，矛盾，因此第 \(b+1\)，\(b+2\) 层点数之和大于 \(2k\)，\(f_{k,b+2}\le f_{k,b}\)。
  以此类推 \(a\le b\)。
  
  所以 \(a=b\)，即 \(f_k\le\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)。

根据上面对 \(a\le b\) 的证明，可以归纳证明第 \(b+1\) 到第 \(b+t\) 层的点数之和大于 \(kt\)，于是我们只需要一层一层删掉，并优先删除有儿子的结点就一定可行。这样 \(f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)，证毕。

题目解法

嘿嘿，大脑有没有烧了呢？有了以上结论，这道题就可以秒切了。

对 \(f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\) 进行变形：

\[f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i=f_k= \max_i \lceil\frac{s_i+ki}{k}\rceil
\]

所以，只需求 \(g_k=\max s_i+ki\) 。

则：\(s_i=-ki+g_k\)（\(y=kx+b\)）。

斜率优化即可，横坐标和斜率都单调，复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。

参考代码

	#include<bits/stdc++.h>

	using namespace std;

	const int N=1e6+5;

	int n,m,q[N],dep[N];

	int sum[N],maxn,ans[N];

	struct __{

		int x,y;

		bool operator<(const __ x)const{

			return y<x.y;

		}

	}a[N];

	double slp(int x,int y){

		if(x==y)return 1e9;

		return (sum[y+1]-sum[x+1])*1.0/(x-y);

	}

	signed main(){

		ios::sync_with_stdio(0);

		cin.tie(0); cout.tie(0);

		cin>>n>>m;sum[1]=dep[1]=1;

		for(int i=1;i<=m;i++)

			cin>>a[i].y,a[i].x=i;

		stable_sort(a+1,a+m+1);

		for(int i=2,x;i<=n;i++){

			cin>>x; dep[i] = dep[x]+1;

			maxn = max(maxn , dep[i]);

			sum[dep[i]]=sum[dep[i]]+1;

		}

		for(int i=maxn;i>0;i--)

			sum[i]+=sum[i+1];

		int l=1,r=1;

		for(int i=1;i<=maxn;i++){

			while(l<r&&slp(i,q[r])<=slp(q[r],q[r-1]))

				r--;

			q[++r]=i;

		}

		for(int i=1;i<=m;i++){

			while(l<r&&a[i].y>slp(q[l],q[l+1]))

				l++;

			int k=q[l],Y=a[i].y,X=a[i].x;

			ans[X] = k+(sum[k+1]+Y-1)/Y ;

		}

		for(int i=1;i<=m;i++)

			cout<<ans[i]<<" ";

		return 0;

	}

完结撒花！！！