P3571 [POI2014] SUP-Supercomputer 题解

P3571「POI2014」SUP-Supercomputer 题解

一道 “较” 水的黑题 （可一开始苦思冥想还是不会）。

本蒟蒻的第一篇黑题题解，求赞。

题意简化

给定一棵 \(n\) 个节点、根节点为 \(1\) 的有根树。\(q\) 次询问中每次给定一个 \(k\)，输出需要最少用几次操作次数 删除 完整棵树。每次操作可以选择 删除 不超过 \(k\) 个未访问的点，且这些点 没有父亲。（血腥的味道）

前置知识

有一个 小小 的结论：存在一个 \(i\)，满足可以用 \(i\) 次操作删掉所有深度小于等于 \(i\) 的点，剩下的操作每次都删掉 \(k\) 个点。

形式化地，设 \(f_k\) 为 \(k\) 对应的答案，\(s_i\) 是深度大于 \(i\) 的点数，有：

\[f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i
\]

• Why？

显然 ，要证明 \(f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)，转换为不等式，可分别证明 \(f_k\ge\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\) 和 \(f_k\le\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)：

1. 证明 \(f_k\ge\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\) ：
   
   可以注意到一个性质，要删除至少一个深度为 \(i\) 的点，至少需要 \(i\) 次操作。那么有 \(f_k\ge \max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)。

2. 证明 \(f_k\le\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\) ：
   
   设 \(f_{k,i}=i+\lceil\frac{s_i}{k}\rceil\)，\(f_{k,i}\) 在 \(i=a\) 时取最大值。我们假设 \(b\) 步可以删除完前 \(b\) 层的节点，且这是满足条件的最大的 \(b\)，即证 \(a=b\)。

   • 先证 \(a\ge b\)：对于 \(c<b\)，若 \(f_{k,c}>f_{k,b}\)，则深度范围在 \((c,b]\) 之间的点数大于 \(k(b−c)\)，删掉一个第 \(c\) 层的点至少要 \(c\) 步，删掉 \(c+1\) 到 \(b\) 层的所有点要大于 \((b−c)\) 步，那么前 \(b\) 层肯定 \(b\) 次删不完，矛盾。因此 \(a\ge b\)。

   • 再证 \(a\le b\)：

     1. 第 \(b+1\) 层一定有超过 \(k\) 个节点，\(f_{k,b+1}\le f_{k,b}\)。
     2. 若第 \(b+1\)，\(b+2\) 层点数之和不超过 \(2k\)，那么第 \(b+2\) 层的点数一定不足 \(b+1\) 层的，我们可以 \(b+2\) 次删除完前 \(b+2\) 层，矛盾，因此第 \(b+1\)，\(b+2\) 层点数之和大于 \(2k\)，\(f_{k,b+2}\le f_{k,b}\)。

     以此类推 \(a\le b\)。
     
     所以 \(a=b\)，即 \(f_k\le\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)。

根据上面对 \(a\le b\) 的证明，可以归纳证明第 \(b+1\) 到第 \(b+t\) 层的点数之和大于 \(kt\)，于是我们只需要一层一层删掉，并优先删除有儿子的结点就一定可行。这样 \(f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\)，证毕。

题目解法

嘿嘿，大脑有没有烧了呢？有了以上结论，这道题就可以 秒 切了。

对 \(f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i\) 进行变形：

\[f_k=\max_i \lceil\frac{s_i}{k}\rceil+i=f_k= \max_i \lceil\frac{s_i+ki}{k}\rceil
\]

所以，只需求 \(g_k=\max s_i+ki\) 。

则：\(s_i=-ki+g_k\)（\(y=kx+b\)）。

斜率优化即可，横坐标和斜率都单调，复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。

参考代码

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int N=1e6+5;
	int n,m,q[N],dep[N];
	int sum[N],maxn,ans[N];
	struct __{
		int x,y;
		bool operator<(const __ x)const{
			return y<x.y;
		}
	}a[N];
	double slp(int x,int y){
		if(x==y)return 1e9;
		return (sum[y+1]-sum[x+1])*1.0/(x-y);
	}
	signed main(){
		ios::sync_with_stdio(0);
		cin.tie(0); cout.tie(0);
		cin>>n>>m;sum[1]=dep[1]=1;
		for(int i=1;i<=m;i++)
			cin>>a[i].y,a[i].x=i;
		stable_sort(a+1,a+m+1);
		for(int i=2,x;i<=n;i++){
			cin>>x; dep[i] = dep[x]+1;
			maxn = max(maxn , dep[i]);
			sum[dep[i]]=sum[dep[i]]+1;
		}
		for(int i=maxn;i>0;i--)
			sum[i]+=sum[i+1];
		int l=1,r=1;
		for(int i=1;i<=maxn;i++){
			while(l<r&&slp(i,q[r])<=slp(q[r],q[r-1]))
				r--;
			q[++r]=i;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			while(l<r&&a[i].y>slp(q[l],q[l+1]))
				l++;
			int k=q[l],Y=a[i].y,X=a[i].x;
			ans[X] = k+(sum[k+1]+Y-1)/Y ;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++)
			cout<<ans[i]<<" ";
		return 0;
	}

完 结 撒 花 ！ ！ ！