CH4302 Interval GCD

题意

4302 Interval GCD 0x40「数据结构进阶」例题

描述

给定一个长度为N的数列A，以及M条指令 (N≤5*10^5, M<=10^5)，每条指令可能是以下两种之一：

“C l r d”，表示把 A[l],A[l+1],…,A[r] 都加上 d。

“Q l r”，表示询问 A[l],A[l+1],…,A[r] 的最大公约数(GCD)。

输入格式

第一行两个整数N,M，第二行N个整数Ai，接下来M行每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

样例输入

5 5
1 3 5 7 9
Q 1 5
C 1 5 1
Q 1 5
C 3 3 6
Q 2 4

样例输出

1
2
4

数据范围与约定

• N,M≤2*10^5，l<=r，数据保证任何时刻序列中的数都是不超过2^62-1的正整数。

分析

根据“更相减损术”，\(gcd(x,y,z)=gcd(x,y-x,z-y)\)，所以
\[
\gcd_{i=l}^r A[l] = \gcd(A[l],\gcd_{i=l+1}^r(A[i]-A[i-1]))
\]
所以用线段树维护差分序列的gcd，在线段树上单点修改区间查询；然后是要区间修改单点查询原序列的值，用树状数组维护新差分序列即可。

时间复杂度\(O(M \log N)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;

co int N=5e5+1;
int n,m;
ll a[N],b[N],c[N];
#define lowbit(i) (i&-i)
void add(int p,ll v){
    for(;p<=n;p+=lowbit(p)) c[p]+=v;
}
ll ask(int p){
    ll re=0;
    for(;p;p-=lowbit(p)) re+=c[p];
    return re;
}
ll s[N*4];
ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
#define lc (x<<1)
#define rc (x<<1|1)
void build(int x,int l,int r){
    if(l==r) return s[x]=b[l],void();
    int mid=l+r>>1;
    build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
    s[x]=gcd(s[lc],s[rc]);
}
void change(int x,int l,int r,int p){
    if(l==r) return s[x]=b[l],void();
    int mid=l+r>>1;
    if(p<=mid) change(lc,l,mid,p);
    else change(rc,mid+1,r,p);
    s[x]=gcd(s[lc],s[rc]);
}
ll query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql>qr) return 0;
    if(ql<=l&&r<=qr) return s[x];
    int mid=l+r>>1;
    if(qr<=mid) return query(lc,l,mid,ql,qr);
    if(ql>mid) return query(rc,mid+1,r,ql,qr);
    return gcd(query(lc,l,mid,ql,qr),query(rc,mid+1,r,ql,qr));
}
int main(){
//  freopen("CH4302.in","r",stdin),freopen("CH4302.out","w",stdout);
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;++i) b[i]=read(a[i])-a[i-1];
    build(1,1,n); // edit 1: reserve for changing b[1]
    for(int l,r;m--;){
        static char op[2];
        scanf("%s",op),read(l),read(r);
        if(op[0]=='C'){
            ll d=read<ll>(); // edit 2
            b[l]+=d,change(1,1,n,l),add(l,d);
            if(r+1<=n) b[r+1]-=d,change(1,1,n,r+1),add(r+1,-d);
        }
        else printf("%lld\n",llabs(gcd(a[l]+ask(l),query(1,1,n,l+1,r))));
    }
    return 0;
}