Reservoir sampling

　　在看蚂蚁***的时候看到这道题，真心觉得有趣，所以啊，一定要投入其中，知识的美妙啊~

　　小明在天猫上开了一个网店，某天要开展一个抽奖活动，奖品数量100个。为了保证活动的公平，小明希望保证每个顾客中奖概率都一样，但他无法提前预估活动当天参加抽奖的顾客数。请你给他设计一个算法，要求：

　　1) 在抽奖过程中，如果让所有顾客一直等待抽奖结果，否则顾客会一直刷新导致网络拥塞，用户体验也很糟糕，因此只能容忍一小部分用户在活动进行过程中等待；

　　2) 活动结束以后，必须立即给出中奖的100位顾客名单。

给出一个数据流，这个数据流的长度很大或者未知。并且对该数据流中数据只能访问一次。请写出一个随机选择算法，使得数据流中所有数据被选中的概率相等。

对于复杂问题一定要学会归纳总结，即从小例子入手，然后分析，得出结论，然后在证明。不然遇到一个抽象问题，不举例感觉这个问题，直接解还是比较难的。

对于此问题的难处就是数据流的长度未知，如果已知，so easy。现在进行归纳总结：

1） 长度为1，只有一个数据，直接返回即可，此数据被返回的概率为1.

2）长度为2，当读取第一数据时，我们发现并不是最后一个数据，我们不能直接返回，因为数据流还没结束，继续读取，到第二数据的时候，发现已经结束。所以现在的问题就是等概率返回其中的一个，显然概率为0.5。所以此时我们可以生成一个0到1的随机数p，如果p小于0.5，返回第二个，如果大于0.5，返回第一个。显然此时两个数据被返回的概率是一样的。

3）长度为3，我们可以事先分析得到，为了满足题意，需要保证每个数据返回的概率都是1/3。接下来分析数据流，首先读取第一个数据，然后在读取第二个数据，此时可以按2）处理，保留一个数据，每个数据显然为1/2。此时读取第三个数据，发现到尾部了，为了满足题意，此时需要一1/3的概率决定是否取此数据。现在分析前两个数是否也是以1/3的概率返回，如果是则总体都满足。数据1和数据2同时留下的概率为：1/2 *（1-1/3）= 1/3。1/2只在数据1和数据2pk时，能留下的概率，1-1/3指数据3不被留下的概率。所以，对长度为3的数据流，在读取第三个数据时，我们可以生成一个0到1的随机数p，如果p小于1/3，返回第三个数据，否则，返回前面两个pk留下的数据。

由上面的分析，我们可以得出结论，在取第n个数据的时候，我们生成一个0到1的随机数p，如果p小于1/n，保留第n个数。大于1/n，继续保留前面的数。直到数据流结束，返回此数。

下面用数学归纳法证明此结论。

1)当n=1时，第一个元素以1/1的概率返回，符合条件。

2)假设当n=k时成立，即每个元素都以1/k的概率返回，先证明n=k+1时，是否成立。

对于最后一个元素显然以1/k+1的概率返回，符合条件，对于前k个数据，被返回的概率为1/k * (1- 1/k+1)=1/k+1，满足题意。

综上所述，结论成立。

题目2

对于题目1的要就变为，最后返回的结果长度为k，这就是水塘抽样

显然有了对题目1的理解，我们可以直接替换结论，只需把上面的1/n变为k/n即可。

在取第n个数据的时候，我们生成一个0到1的随机数p，如果p小于k/n，替换池中任意一个为第n个数。大于k/n，继续保留前面的数。直到数据流结束，返回此k个数。但是为了保证计算机计算分数额准确性，一般是生成一个0到n的随机数，跟k相比，道理是一样的。

转载于https://blog.csdn.net/javastart/article/details/50610868