BZOJ.3811.玛里苟斯(线性基)

BZOJ

UOJ

感觉网上大部分题解对我这种数学基础差的人来说十分不友好...（虽然理解后也觉得没有那么难）

结合两篇写的比较好的详细写一写。如果有错要指出啊QAQ

https://blog.csdn.net/smallsxj/article/details/73205569

https://www.cnblogs.com/wujiechao/p/7781140.html

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首先题目要求输出精确的小数，由下面的推导可知答案要么是整数，要么是一位小数\(.5\)，不会是\(.25,\ .125\)什么的。

对\(k\)讨论，先以\(k=2\)为例，假设期望异或和是\(S\)，把它二进制拆分，每一位记为\(b_i=0/1\)，那么答案是\((b_02^0+b_12^1+...+b_m2^m)(b_02^0+b_12^1+...+b_m2^m)=b_0b_02^0+b_0b_12^1+b_0b_22^2+...b_mb_m2^{m+m}\)\(=\sum_i\sum_jb_ib_j2^{i+j}\)。

那么对于\(b_i,b_j\)，它的贡献是\(\frac{P}{2^n}\times2^{i+j}\)，\(P\)是\(i,j\)两位都为\(1\)的方案数。

那么用\(b_{i,j}\)表示第\(i\)个数二进制拆分后的第\(j\)位，\(x_i\)表示这个数是否存在于选出的集合中，求\(i,j\)位都为\(1\)的方案数，可以列个方程组：

\[\begin{matrix}x_1b_{1,0}\oplus x_2b_{2,0}\oplus...\oplus x_nb_{n,0}=0/1\\x_1b_{1,0}\oplus x_2b_{2,0}\oplus...\oplus x_nb_{n,0}=0/1\\\dots\\x_1b_{1,i}\oplus x_2b_{2,i}\oplus...\oplus x_nb_{n,i}=1\\\dots\\x_1b_{1,j}\oplus x_2b_{2,j}\oplus...\oplus x_nb_{n,j}=1\\\dots\\x_1b_{1,m}\oplus x_2b_{2,m}\oplus...\oplus x_nb_{n,m}=0/1\end{matrix}
\]

（个人感觉这里除去\(i,j\)的方程的右式应该是\(0/1\)吧，那篇博客里写的是\(0\)）

解这个方程组，可以发现只会有\(t\leq k\)个\(x_i\)是有唯一解的，其它\(n-t\)个\(x_i\)都有两解。所以方案数为\(2^{n-t}\)，贡献就为\(2^{i+j-t}\)。

当\(i\neq j\)时，\(i+j\geq1,\ t\leq2\)，所以\(2^{i+j-t}\geq0.5\)。

当\(i=j\)时，\(i+j\geq0,\ t\leq1\)，依旧有\(2^{i+j-t}\geq0.5\)。

扩展到\(k\geq2\)的情况，设选出的位有\(k'\)位是互不相同的，设为\(i,j,l...\)，那么方程组中右式为\(1\)的等式有\(k'\)个，且\(i+j+l+...\geq0+1+2+...=\frac{k(k-1)}{2}\geq k-1\geq t-1\)，所以\(i+j+l+...-t\geq-1\)，贡献\(2^{i+j+l+...-t}\geq0.5\)。

\(k=1\)时，显然也成立。

综上，答案要么是整数，要么是一位小数\(.5\)。

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其次要注意的是数据范围。答案小于\(2^{63}\)，那么似乎就有\(a_i^k\lt2^{63}\)，\(a_i\lt\frac{2^{63}}{k}\)。

但是个人认为，比如\(k=1\)，\(a_i\lt2^{63}\)，但是存在\(2^{63}\leq a_i\lt2^{64}\)也是可以的，因为毕竟是求平均值，多一位还是可能被拉低到下一位去的。所以应该是\(a_i\lt\frac{2^{64}}{k}\)（\(k=1\)需要unsigned long long）。

然而没见到有人这么写的（写范围的都是\(a_i\lt\frac{2^{63}}{k}\)）...那我就不知道为啥都开的unsigned long long了。

看了下数据，确实最大值是18446727131960884031\(>2^{63}\)。（答案是\(2^{63}-0.5\) 233好强大）

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考虑怎么做。对\(k\)分别求解。

\(k=1\)：

对每一位分别考虑。设某一位为\(1\)的数有\(t\)个，为\(0\)的有\(n-t\)个，那么选出奇数个该位为\(1\)的方案数是：\(\sum_{i\ is\ odd}C_n^i2^{n-t}\)，偶数个的方案数是\(\sum_{i\ is\ even}C_n^i2^{n-t}\)。

而\(C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=2^{n-1}=C_n^0+C_n^2+C_n^4...\)

也就是选出该位为\(1\)的数的个数为奇数和偶数的概率是一样的。那么只要\(t\geq0\)，该位为\(1\)为\(0\)的概率是一样的。

所以求一下哪些位上出现过\(1\)，加起来除以\(2\)就好了。

\(k=2\)：

上面说了答案可以写成\(\sum_i\sum_jb_ib_j2^{i+j}\)。可以直接\(\log^2\)枚举\(i,j\)。

\(b_i\)为\(1\)的概率和\(k=1\)时的情况一样，如果存在一个数第\(i\)位为\(1\)，那么就是\(\frac12\)，否则是\(0\)。所以如果存在数第\(i\)位不为\(0\)且存在数第\(j\)位不为\(0\)，那么贡献就是\(\frac14\times2^{i+j}\)。

需要注意的是如果每个数\(i,j\)位都相同且至少存在一个数满足\(i,j\)位不为\(1\)，那么\(i,j\)为\(1\)是同时出现的，概率是\(\frac12\)。

\(k\geq3\)：

此时\(a_i\lt2^{22}\)，线性基中的元素个数不超过\(22\)，所以可以直接\(2^{cnt}\)枚举线性基中元素集合（设线性基元素个数为\(cnt\)）。

线性基中每个子集出现的概率都是\(2^n\times2^{n-cnt}=\frac{1}{2^{cnt}}\)，求出子集异或和\(x^k\)后除一下即可。

需要注意的是除\(2^{cnt}\)之前\(x^k\)是可以超过\(2^{63}\)的。需要把\(x\)表示成\(\lfloor\frac{x}{2^{cnt}}\rfloor\times2^{cnt}+x\%2^{cnt}\)。

因为有\(\lfloor\frac{x^k}{2^{cnt}}\rfloor\times x+\lfloor\frac{(x^k\%2^{cnt})\times x}{2^{cnt}}\rfloor=\lfloor\frac{x^{k+1}}{2^{cnt}}\rfloor\)。

证明：令\(x^k=a\times2^{cnt}+b\ (b<2^{cnt})\)，那么等式左边\(=ax+\lfloor\frac{bx}{2^{cnt}}\rfloor\)，等式右边\(=\lfloor\frac{x^k\times x}{2^{cnt}}\rfloor=\lfloor\frac{ax2^{cnt}+bx}{2^{cnt}}\rfloor=ax+\lfloor\frac{bx}{2^{cnt}}\rfloor=左式\)。

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//2096kb	728ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
const int N=1e5+5;

ull A[N];
int cnt,base[30],b[30];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline ull read()
{
	ull now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now;
}
void Subtask1(int n)
{
	ull ans=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) ans|=A[i];
	printf("%llu",ans>>1);
	if(ans&1) printf(".5");
	putchar('\n');
}
void Subtask2(int n)
{
	ull x=0,y=0;
	for(int a=0; a<32; ++a)
	{
		bool f1=0;
		for(int i=1; i<=n; ++i) if(A[i]>>a&1) {f1=1; break;}
		if(!f1) continue;
		for(int b=0; b<32; ++b)
		{
			bool f2=0;
			for(int i=1; i<=n; ++i) if(A[i]>>b&1) {f2=1; break;}
			if(!f2) continue;
			bool f3=0;
			for(int i=1; i<=n; ++i) if((A[i]>>a&1)^(A[i]>>b&1)) {f3=1; break;}
			if(a+b-f3-1>=0) x+=1ull<<a+b-f3-1;
			else ++y;//+0.5
		}
	}
	printf("%llu",x+=y>>1);
	if(y&1) printf(".5");
	putchar('\n');
}
inline void Insert(int x)
{
	for(int i=21; ~i; --i)
		if(x>>i&1)
			if(base[i]) x^=base[i];
			else {b[cnt++]=base[i]=x; break;}
}
void Subtask3(int n,int K)
{
	for(int i=1; i<=n; ++i) Insert(A[i]);
	ull ansx=0,ansy=0;
	const int lim=1<<cnt;
	for(int s=0; s<lim; ++s)
	{
		ull val=0,x=0,y=1;
		for(int i=0; i<cnt; ++i) s>>i&1&&(val^=b[i]);
		for(int i=1; i<=K; ++i)
			x*=val, y*=val, x+=y>>cnt, y&=lim-1;
		ansx+=x, ansy+=y;
	}
	ansx+=ansy>>cnt, ansy&=lim-1;
	printf("%llu",ansx);
	if(ansy) printf(".5");
	putchar('\n');
}

int main()
{
	int n=read(),K=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
	if(K==1) Subtask1(n);
	else if(K==2) Subtask2(n);
	else Subtask3(n,K);

	return 0;
}