CF662C Binary Table FWT

传送门

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\(N \leq 20\)很小诶

一个暴力的思路是枚举行的翻转状态然后在列上贪心

复杂度为\(O(2^NM)\)显然过不去

考虑到可能有若干列的初始状态是一样的，那么在任意反转之后他们贪心的策略肯定是相同的

考虑状压，设\(f_i\)表示初始状态为\(i\)的列的个数，\(g_i\)表示经过行反转，某一列到达\(i\)状态时，这一列留下的最少的\(1\)的可能个数，\(h_i\)表示行翻转状态为\(i\)时的答案

那么\(h_i = \sum\limits_{j\ xor\ k = i}f_jg_k\)，是一个异或卷积的形式，FWT即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long cnt1[1 << 20] , mn[1 << 20] , times[1 << 20] , ans[1 << 20] , num[100007] , N , M;

void FWT_xor(long long* arr , int type){
    for(int i = 1 ; i < 1 << N ; i <<= 1)
        for(int j = 0 ; j < 1 << N ; j += (i << 1))
            for(int k = 0 ; k < i ; ++k){
                long long x = arr[j + k] , y = arr[i + j + k];
                arr[j + k] = x + y;
                arr[i + j + k] = x - y;
                if(type == -1){
                    arr[j + k] >>= 1;
                    arr[i + j + k] >>= 1;
                }
            }
}

inline char getc(){
    char c = getchar();
    while(!isdigit(c))
        c = getchar();
    return c;
}

int main(){
    cin >> N >> M;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
        for(int j = 1 ; j <= M ; ++j)
            num[j] = (num[j] << 1) + getc() - 48;
    for(int i = 1 ; i <= M ; ++i)
        ++times[num[i]];
    for(int i = 1 ; i < 1 << N ; ++i)
        cnt1[i] = cnt1[i - (i & -i)] + 1;
    for(int i = 1 ; i < 1 << N ; ++i)
        mn[i] = min(cnt1[i] , cnt1[((1 << N) - 1) ^ i]);
    FWT_xor(mn , 1);
    FWT_xor(times , 1);
    for(int i = 0 ; i < 1 << N ; ++i)
        ans[i] = mn[i] * times[i];
    FWT_xor(ans , -1);
    long long all = M * N;
    for(int i = 0 ; i < 1 << N ; ++i)
        all = min(all , ans[i]);
    cout << all;
    return 0;
}