Dijkstra 算法初探

一、Dijkstra 算法的介绍

    Dijkstra 算法，又叫迪科斯彻算法（Dijkstra），算法解决的是有向图中单个源点到其他顶点的最短路径问题。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离，Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

 

三、Dijkstra 的算法实现

    Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及G中的一个来源顶点 S。我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合，以 E 表示G 中所有边的集合。

    (u, v) 表示从顶点 u 到 v 有路径相连，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞] 定义。因此，w(u, v) 就是从顶点 u 到顶点 v 的非负花费值（cost），边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。

任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。

    已知有 V 中有顶点 s 及 t，Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低花费路径(例如，最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。

 

符号代表：有向图：G   来源顶点：S      顶点：V      边：E          发费值：w(u, v) 

                

                

Dijkstra 算法的实现一（维基百科）：

注意：u := Extract_Min(Q) 在顶点集合 Q 中搜索有最小的 d[u] 值的顶点 u。这个顶点被从集合 Q 中删除并返回给用户。 

 1  function Dijkstra(G, w, s)

 2     for each vertex v in V[G]                        // 初始化

 3           d[v] := infinity

 4           previous[v] := undefined

 5     d[s] := 0

 6     S := empty set

 7     Q := set of all vertices

 8     while Q is not an empty set                      // Dijkstra演算法主體

 9           u := Extract_Min(Q)

10           S := S union {u}

11           for each edge (u,v) outgoing from u

12                  if d[v] > d[u] + w(u,v)             // 拓展边（u,v）

13                        d[v] := d[u] + w(u,v)

14                        previous[v] := u

如果我们只对在 s 和 t 之间寻找一条最短路径的话，我们可以在第9行添加条件如果满足 u = t 的话终止程序。现在我们可以通过迭代来回溯出 s 到 t 的最短路径：

1 s := empty sequence

2 u := t

3 while defined u                                        

4       insert u to the beginning of S

5       u := previous[u]

现在序列 S 就是从 s 到 t 的最短路径的顶点集.

 

Dijkstra 算法的实现二（算法导论）：

DIJKSTRA(G, w, s)

1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)

2  S ← Ø

3  Q ← V[G]                                 //V*O（1）

4  while Q ≠ Ø

5      do u ← EXTRACT-MIN(Q)     //EXTRACT-MIN，V*O（V），V*O（lgV）

6         S ← S ∪{u}

7         for each vertex v ∈ Adj[u]

8             do RELAX(u, v, w)       //松弛技术，E*O（1），E*O（lgV）。

 

     因为Dijkstra算法总是在V-S中选择“最轻”或“最近”的顶点插入到集合S中，所以我们说它使用了贪心策略。 此Dijkstra 算法的最初的时间复杂度为O（V*V+E），源点可达的话，O（V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV）当是稀疏图的情况时，E=V*V/lgV，算法的时间复杂度可为O（V^2）。但我们知道，若是斐波那契堆实现优先队列的话，算法时间复杂度，则为O（V*lgV + E）