bzoj 4753 最佳团体

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Description

\(JSOI\)信息学代表队一共有N名候选人，这些候选人从\(1\)到\(N\)编号。方便起见，\(JYY\)的编号是\(0\)号。每个候选人都由一位编号比他小的候选人\(R_i\)推荐。如果\(R_i=0\)则说明这个候选人是\(JYY\)自己看上的。为了保证团队的和谐，\(JYY\)需要保证，如果招募了候选人\(i\)，那么候选人\(R_i\)"也一定需要在团队中。当然了，\(JYY\)自己总是在团队里的。每一个候选人都有一个战斗值P\(_i\)"，也有一个招募费用\(S_i\)"。\(JYY\)希望招募\(K\)个候选人（\(JYY\)自己不算），组成一个性价比最高的团队。也就是，这\(K\)个被\(JYY\)选择的候选人的总战斗值与总招募总费用的比值最大。

Input

输入一行包含两个正整数\(K\)和\(N\)。

接下来\(N\)行，其中第\(i\)行包含\(3\)个整数\(S_i,P_i,R_i\)表示候选人i的招募费用，战斗值和推荐人编号。

对于\(100\%\)的数据满足\(1≤K≤N≤2500,0<S_i,P_i≤10^4,0≤R_i<i.\)

Output

输出一行一个实数，表示最佳比值。答案保留三位小数。

Sample Input

1 2

1000 1 0

1 1000 1

Sample Output

0.001

Solution

• \(0/1\)分数规划与树形背包的结合.
• 目标是最大化\(\sum a_i/\sum b_i\).
• 考虑二分答案\(x\),若该答案合法,则\(\sum a_i/\sum b_i\geq x\).
• 移项,有\(\sum a_i-x\cdot \sum b_i\geq 0\).
• 令每个物品的权值为\(a_i-x\cdot b_i\),则转化为一般的最大化总权值的树形背包.得出最大总权值后,若其非负,则说明\(x\)合法,否则不合法.

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 1e9
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
const double eps=1e-5;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		{
			fh=-1;
			jp=getchar();
		}
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		{
			out=out*10+jp-'0';
			jp=getchar();
		}
	return out*fh;
}
const int MAXN=2510;
int a[MAXN],b[MAXN],Fa[MAXN];//p,s,r
int cnt=0,head[MAXN],to[MAXN<<1],nx[MAXN<<1];
double w[MAXN],f[MAXN][MAXN];
int sons[MAXN],siz[MAXN];
inline void add(int u,int v)
{
	++cnt;
	to[cnt]=v;
	nx[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}
int n,k;
void dfs(int u)
{
	siz[u]=1;
	f[u][0]=0;
	if(sons[u]==0)
		{
			f[u][1]=w[u];
			return;
		}
	for(int i=head[u];i;i=nx[i])
		{
			int v=to[i];
			dfs(v);
			int lim=min(k,siz[u]);
			for(int j=lim;j>=0;--j)
				{
					for(int p=0;p<=siz[v];++p)
						{
							if(j+p>k)
								break;
							f[u][j+p]=max(f[u][j+p],f[u][j]+f[v][p]);
						}
				}
			siz[u]+=siz[v];
		}
	for(int i=k;i>=0;--i)
		{
			if(i>=1)
				f[u][i]=f[u][i-1]+w[u];
			else
				f[u][i]=0;
		}
}
int check(double x)
{
	for(int i=1;i<=n;++i)
		w[i]=1.0*a[i]-1.0*b[i]*x;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
			f[i][j]=-inf;
	dfs(1);
	if(f[1][k]>-eps)
		return 1;
	return 0;
}
int main()
{
	k=read(),n=read();
	++n,++k;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		{
			b[i]=read();
			a[i]=read();
			Fa[i]=read();
			++Fa[i];
			++sons[Fa[i]];
			add(Fa[i],i);
		}
	double L=0,R=1e4,ans=0;
	while(R-L>eps)
		{
			double mid=(L+R)/2;
			if(check(mid))
				{
					ans=mid;
					L=mid;
				}
			else
				R=mid;
		}
	printf("%.3f\n",ans);
	return 0;
}