不容易系列之(4)——考新郎

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2049

题目大意:

有N对新婚夫妇,其中所有的新娘站成一列,都盖上了红布。然后让新郎去找新娘,每个新郎只能找一个新娘,而且不能一个对一个。问其中M个新郎找错新娘的情况有多少种。

思考过程:

这其实就是一个错排问题+排列组合问题
首先要从N个新郎当中找出M个找错的。即C(N,M)。其次是对这M组新人进行错排,为D(M)。而且两者之间是乘法原则

错排和排列组合地推公式:

由于是第一次写排列组合这块的内容,写一下如何用递推公式求 C(N,M) 和 D(M)。
(1)求C(N,M)。如果我们要从N个数当中抽出M个数,那么对于N个数当中的任何一个数来说,只有被抽到和没有被抽到两种情况。不妨设K,如果没有被抽到,则需要在剩下的 N - 1 个数当中抽 M 个。即C(N - 1,M)。如果K被抽到了,那么只需要在剩下的 N - 1 个数当中抽 M - 1 个。即C(N - 1, M - 1)
所以,C(N,M) = C(N - 1,M - 1) + C(N - 1,M)
(2)求D(N)。对于{1,2,3,……N} 这N个数,如果1在K的位置,K在1的位置,(由于K可以为剩下N - 1 个数当中任意一个,所以有N - 1 种选法)那么剩下的 N - 2 个数错排即可,为(N - 1)* D(N - 2)。如果K在1的位置,而1不在K的位置,那么把1当做K,相当于对N - 1 个数进行错排。为 (N - 1)* D(N - 1)
所以,D(N)= (N - 1)* (D(N - 1)+ D(N - 2))

代码:

/*
错排
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<set>
#include<ctype.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#define PI acos(-1.0)
#define maxn 1000
#define INF 1<<25
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
typedef long long ll;
using namespace std;
int C[22][22];
ll D[22];
void init()
{
for (int i = 0; i <=20; i++)
C[i][0] = 1;
C[1][1] = 1;
for (int i = 2; i <= 20; i++)
for (int j = 1; j <= i; j++)
C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]; D[1] = 0, D[2] = 1;
for (ll i = 3; i <= 20; i++)
D[i] = (i - 1) * (D[i - 1] + D[i - 2]);
}
int main ()
{
init();
int c, n ,m;
cin>>c;
while(c--)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
ll sum;
if (m * 2 > n) sum = C[n][n - m];
else sum = C[n][m];
sum *= D[m];
cout<<sum<<endl;
}
return 0;
}

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