我对Burnside定理的理解

　　我想了想，发现可以证明burnside定理。

置换：n个元素1,2,…,n之间的一个置换表示1被1到n中的某个数a₁取代，2被1到n中的某个数a₂取代，直到n被1到n中的某个数a_n取代，且a₁,a₂,…,a_n互不相同。

置换群：置换群的元素是置换，运算是置换的连接。例如：

　　可以验证置换群满足群的四个条件。

　　重点是这个：│E_k│·│Z_k│=│G│    k=1…n 这个我不会证明，但是很好理解：每个不动点都可以找到一个对应的置换，差不多就这个意思。

该公式的一个很重要的研究对象是群的元素个数，有很大的用处。

Z_k (K不动置换类)：设G是1…n的置换群。若K是1…n中某个元素，G中使K保持不变的置换的全体，记以Z_k，叫做G中使K保持不动的置换类，简称K不动置换类。

E_k(等价类)：设G是1…n的置换群。若K是1…n中某个元素，K在G作用下的轨迹，记作E_k。即K在G的作用下所能变化成的所有元素的集合。

　　现在就可以证明了，哦，不是证明，是理解，呵呵……

　　我们可以发现i所在等价类集合的大小就是E_i，可以感性地理解一下。

　　有了│E_k│·│Z_k│=│G│    k=1…n 这个神一样的式子，我们设有L个等价类，等价类k中有E_k个元素，每个元素有Z_k个不动点，等价类k中的不动点的个数就是│E_k│·│Z_k│=│G│，我们对所有等价类的不动点个数求和，得到的就是L*|G|，除以|G|就是等价类个数了。

　　Pólya原理就是对求不动点个数方法的扩展，不太难哈。