B树（B-Tree）的由来、数据结构、基本操作以及数据库索引的应用

B树是为磁盘存储而专门设计的一类平衡搜索树，B树的高度仅随着它所包含的节点数按对数增长，不过因为单个节点可以包含多个关键字，所以对数的底数可以比较大，实际应用中一般是50~2000，给个直观的数字，一棵分支因子为1001、高度为2（不包含根节点）的B树，可以存储超过10亿个关键字！

1.从磁盘结构讲起

计算机的机械磁盘，为了摊还机械移动花费的等待时间，磁盘会一次存取多个数据项而不是一个，这样的一次读取的信息单元是page，我们可以用读或写的页数作为磁盘存取总时间的主要近似值，在任何时刻，B树算法都只需在内存中保持一定数量的页面。B树的设计考虑磁盘预读取这点，一个B树的节点通常和一个完整磁盘页（page）一样大，并且磁盘页的大小限制了一个B树节点可以含有的孩子个数（分支因子），当然这个具体也需要取决于一个关键字相对一页的大小。B+ Tree中内部节点只存放关键字和孩子的指针，不存其他satellite information，因此最大化了内部节点的分支因子。

2.B树的数据结构

typedef int KeyType;
#define m 3  
struct Node{

    int keynum;             /* 结点中关键字的个数，即结点的大小*/

    struct Node *parent;    /*指向parent结点*/

    KeyType key[m];         /*关键字向量*/

    struct Node *ptr[m];    /*子树指针向量*/

};

3.B树的查找

搜索一棵B树和搜索一棵二叉搜索树很相似，只是在每个节点所做的不是二叉或者“两路”分支选择，而是根据根节点的孩子数做多路分支选择。

4.B树的插入

B树插入的时候都是插入到叶节点上，插入的时候会从根节点开始顺着叶节点的方向沿途，如果遇到一个满节点（该节点上的关键字达到2t-1，t代表t阶B树），就会split该节点，分裂节点方式就是把满节点上的中间关键字往根节点方向提，分裂是树长高的唯一途径。B树的每个叶节点具有相同的高度，所以B树高度的增加发生在顶部而不是底部。插入节点的时候，从根的方向往下判断，如果不是叶子节点，则必须选择适当的叶子节点插入，因为在沿途已经分裂了节点，所以保证不会在满节点上再插入节点。

5.B树的删除

和插入关键字类似，插入关键字的时候要保证节点不会太大，而且有可能会增高B树。删除节点的时候要保证一个节点不会变得太小，因为B树的节点上的关键字有下界要求（除了根节点以外的每个内部节点至少有t个孩子，如果树非空，根节点上至少有一个关键字），删除关键字的时候如果在叶子节点，而且删除之后还满足B树的要求，那直接删除即可，不过如果是其他情况，比如在内部节点上删除关键字，那就有一系列的算法分支需要考虑，感兴趣的读者可以自行找资料慢慢琢磨了。不过在实际场景中，由于一棵B树中大部分关键字都在叶节点中，删除操作最经常是从叶子节点中删除关键字。

6.B树的应用场景

mysql的MyISAM和InnoDB两个存储引擎的索引实现方式：

MyISAM引擎使用B+ Tree作为索引结构，叶节点存放的是数据记录的地址。
MyISAM引擎的辅助索引（二级索引）和主索引在结构上没有区别，只是辅助索引的key可以重复，叶节点上存放的也是数据记录的地址。
MyISAM索引文件和数据文件是分离的，索引文件仅保存数据记录的地址。
InnoDB中表数据本身就是按B+ Tree组织的一个索引结构，叶节点存放的就不是数据记录的地址，而是完整的数据记录。所以InnoDB这种存储方式，又称为聚集索引，使得按主键的搜索十分高效，但二级索引搜索需要检索两遍索引：首先二级索引获得主键，然后用主键到主索引中检索到数据记录。
因为主键是InnoDB表记录的”逻辑地址“，所以InnoDB要求表必须有主键，MyISAM可以没有。