[洛谷P3320] SDOI2015 寻宝游戏

问题描述

小B最近正在玩一个寻宝游戏，这个游戏的地图中有N个村庄和N-1条道路，并且任何两个村庄之间有且仅有一条路径可达。游戏开始时，玩家可以任意选择一个村庄，瞬间转移到这个村庄，然后可以任意在地图的道路上行走，若走到某个村庄中有宝物，则视为找到该村庄内的宝物，直到找到所有宝物并返回到最初转移到的村庄为止。

小B希望评测一下这个游戏的难度，因此他需要知道玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。但是这个游戏中宝物经常变化，有时某个村庄中会突然出现宝物，有时某个村庄内的宝物会突然消失，因此小B需要不断地更新数据，但是小B太懒了，不愿意自己计算，因此他向你求助。为了简化问题，我们认为最开始时所有村庄内均没有宝物

输入格式

第一行，两个整数N、M，其中M为宝物的变动次数。接下来的N-1行，每行三个整数x、y、z，表示村庄x、y之间有一条长度为z的道路。接下来的M行，每行一个整数t，表示一个宝物变动的操作。若该操作前村庄t内没有宝物，则操作后村庄内有宝物；若该操作前村庄t内有宝物，则操作后村庄内没有宝物。

输出格式

M行，每行一个整数，其中第i行的整数表示第i次操作之后玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。若只有一个村庄内有宝物，或者所有村庄内都没有宝物，则输出0。

样例输入

4 5

1 2 30

2 3 50

2 4 60

2

3

4

2

1

样例输出

0

100

220

220

280

解析

手动模拟之后我们可以发现，对于一个已经确定哪些地方有宝藏的地图，无论从哪个地方出发的路径长度是一样的。稍加归纳我们可以发现，要求的答案就是

\[dis(p_1,p_2)+dis(p_2,p_3)+...+dis(p_{n-1},p_n)
\]

其中\(p\)是按照DFS序排序后的宝藏地点数组。因此，我们可以用set维护所有有宝藏的地点序列，关键字为DFS序。每次插入都找到插入点在set中的前驱后继，然后用LCA求路径长度修改答案即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <cmath>
#define int long long
#define N 100002
using namespace std;
int head[N],ver[N*2],nxt[N*2],edge[N*2],l;
int n,m,i,f[N][20],dep[N],dfn[N],dis[N],tim;
bool vis[N];
struct node{
	int p;
	node(int _p){p=_p;}
	bool operator < (const node &a) const{
		return dfn[a.p]<dfn[p];
	}
};
set<node> s;
set<node>::iterator it1,it2;
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
void insert(int x,int y,int z)
{
	l++;
	ver[l]=y;
	edge[l]=z;
	nxt[l]=head[x];
	head[x]=l;
}
void dfs(int x,int pre)
{
	dfn[x]=++tim;
	f[x][0]=pre;
	dep[x]=dep[pre]+1;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int y=ver[i];
		if(y!=pre){
			dis[y]=dis[x]+edge[i];
			dfs(y,x);
		}
	}
}
void init()
{
	dfs(1,0);
	for(int j=0;(1<<(j+1))<=n;j++){
		for(int i=1;i<=n;i++) f[i][j+1]=f[f[i][j]][j];
	}
}
int LCA(int u,int v)
{
	if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
	int tmp=dep[v]-dep[u];
	for(int i=0;(1<<i)<=tmp;i++){
		if((1<<i)&tmp) v=f[v][i];
	}
	if(u==v) return u;
	for(int i=log2(1.0*n);i>=0;i--){
		if(f[u][i]!=f[v][i]) u=f[u][i],v=f[v][i];
	}
	return f[u][0];
}
int dist(int x,int y)
{
	return dis[x]+dis[y]-2*dis[LCA(x,y)];
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(i=1;i<n;i++){
		int u=read(),v=read(),w=read();
		insert(u,v,w);
		insert(v,u,w);
	}
	init();
	int ans=0;
	for(i=1;i<=m;i++){
		int x=read();
		if(vis[x]){
			vis[x]=0;
			if(s.size()!=1){
				it1=it2=s.find(node(x));
				if(it1==s.begin()) it1=s.end();
				it1--;it2++;
				if(it2==s.end()) it2=s.begin();
				ans+=dist((*it1).p,(*it2).p)-dist(x,(*it1).p)-dist(x,(*it2).p);
			}
			s.erase(node(x));
		}
		else{
			vis[x]=1;
			s.insert(node(x));
			if(s.size()!=1){
				it1=it2=s.find(node(x));
				if(it1==s.begin()) it1=s.end();
				it1--;it2++;
				if(it2==s.end()) it2=s.begin();
				ans-=dist((*it1).p,(*it2).p)-dist(x,(*it1).p)-dist(x,(*it2).p);
			}
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}