[总集] LOJ 分块1 – 9

[总集] LOJ「分块」数列分块入门1 – 9

目录

• 分块9题
• 出题人hzw的解析
• 数列分块入门 1
  • 修改：区间加
  • 查询：单点值查询
  • 代码
• 数列分块入门 2
  • 修改：区间加
  • 查询：区间排名
  • 代码
• 数列分块入门 6
  • 修改：单点插入
  • 查询：单点值
  • 代码
• 数列分块入门 7
  • 修改：区间加，区间乘
  • 查询：单点查询
  • 代码
• 数列分块入门 8
  • 修改：区间赋值
  • 查询：区间计数
  • 代码

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分块9题

出题人hzw的解析

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(tips.以下代码中IO优化都已省去，想看可以点传送门)

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数列分块入门 1

修改：区间加

查询：单点值查询

这是一道经典题目，线段树、树状数组等都可以搞，这里讲讲分块

分块就是将一定长度的一段数打包成块，统一处理的算法

每个块都有自己的信息，自己的标记，统一维护，统一查询

我们可以将每个区间修改或查询拆分成在若干个整块，和头尾两个不完整的块中修改、查询后信息的总和

那此题中块要分多大呢？答案是$ \sqrt n $

由于本人太弱，下面给出hzw大佬的证明：

如果我们把每m个元素分为一块，共有 $ \frac{n}{m} $ 块，每次区间加的操作会涉及 $ O( \frac{n}{m} ) $ 个整块，以及区间两侧两个不完整的块中至多2m个元素。

我们给每个块设置一个加法标记（就是记录这个块中元素一起加了多少），每次操作对每个整块直接 $ O(1) $ 标记，而不完整的块由于元素比较少，暴力修改元素的值。

每次询问时返回元素的值加上其所在块的加法标记。

这样每次操作的复杂度是 $ O( \frac{n}{m} )+ O(m) $ ，根据均值不等式，当m取 $ \sqrt n $ 时总复杂度最低

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rint register int
using namespace std;
const int N=50005,B=225; //B是最大块数
int n,len,bn; //bn是块数，len是块长
int L[B],R[B],tag[B],a[N],block[N];
//L[i]是块i的左边界,R[i]是块i的右边界,tag[i]是块i的统一加法标记
//a[i]表示元素i不加标记时的值,block[i]表示元素i的所属块
inline void add(int l,int r,int c){
	int p=block[l],q=block[r]; //p是左边界的所属块，q是右边界的所属块
	if(p==q){ //如果左右边界在同一块中
		for(int i=l;i<=r;++i) //直接对[l,r]每个元素进行修改
			a[i]+=c;
		return ;
	}
	for(rint i=p+1;i<=q-1;++i)
		tag[i]+=c; //给整块打上加法标记，就可以忽略块中的元素
	for(rint i=l;i<=R[p];++i)
		a[i]+=c; //给左边剩下的元素进行处理
	for(rint i=L[q];i<=r;++i)
		a[i]+=c; //给右边剩下的元素进行处理
}
signed main(){
	read(n);
	for(rint i=1;i<=n;++i)
		read(a[i]);
	bn=len=sqrt(n);
	for(rint i=1;i<=bn;++i){
		L[i]=(i-1)*len+1;
		R[i]=i*len;
		for(rint j=L[i];j<=R[i];++j)
			block[j]=i; //给没个元素规定所属块
	}
	if(R[bn]<n){ //如果没分完就再分一个
		L[++bn]=R[bn-1]+1;
		R[bn]=n;
		for(rint i=L[bn];i<=n;++i)
			block[i]=bn;
	}
	for(rint i=1;i<=n;++i){
		int opt,l,r,c;
		read(opt);
		read(l);
		read(r);
		read(c);
		if(!opt) add(l,r,c); //修改
		else Write(a[r]+tag[block[r]],'\n'); //查询:自己的值加上自己所属块的统一标记
	}
}

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数列分块入门 2

修改：区间加

查询：区间排名

这题与1相似，只是需要额外维护一个st[i][j]表示块i从小到大排序后排名第j的数

用sort暴力维护它的单调性有助于使用lower_bound()直接得到某个块中的排名，再将信息合并即可

修改部分只需在1的基础上在每次对一个块完成修改后维护它的st[][]即可

查询部分对于零散小块，暴力枚举判断；对于整块，二分查找确定排名即可得到该块中的答案；最后再将所有块中的答案累加即可

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rint register int
using namespace std;
const int N=50050,B=235;
int n,len,bn,L[B],R[B],tag[B],a[N],block[N],st[B][B];
//其余含义同一，st[i][j]表示块i从小到大排序后排名第j的数
inline void maintain(const int &x){ //将块x中元素放入st[][]并重新排序，以维护st[x][]中的有序性
	memset(st[x],0,sizeof st[x]);
	for(rint i=L[x];i<=R[x];i++)
		st[x][++st[x][0]]=a[i];
	sort(st[x]+1,st[x]+1+st[x][0]);
}
inline void add(int l,int r,int c){
	/*基本同一*/
	int p=block[l],q=block[r];
	if(p==q){
		for(int i=l;i<=r;++i)
			a[i]+=c;
		maintain(p); //维护块p
		return ;
	}
	for(rint i=p+1;i<=q-1;++i)
		tag[i]+=c;
	for(rint i=l;i<=R[p];++i)
		a[i]+=c;
	for(rint i=L[q];i<=r;++i)
		a[i]+=c;
	maintain(p); //维护块p
	maintain(q); //维护块q
}
inline int que(int l,int r,int c){
	int p=block[l],q=block[r],res=0;
	if(p==q){
		for(rint i=l;i<=r;i++)
			res+=(a[i]+tag[p]<c); //直接遍历[l,r]每个元素，判断是否满足条件
		return res;
	}
	for(rint i=p+1;i<=q-1;i++){
		int x=lower_bound(st[i]+1,st[i]+1+st[i][0],c-tag[i])-st[i]; //利用STL二分查找方便的得到要求值在该块中的排名
		res+=x-1; //他之前的都是符合条件的，下标减一加入答案即可
	}
	for(rint i=l;i<=R[p];i++)
		res+=(a[i]+tag[p]<c); //暴力处理剩余部分
	for(rint i=L[q];i<=r;i++)
		res+=(a[i]+tag[q]<c);
	return res;
}
signed main(){
	read(n);
	for(rint i=1;i<=n;++i)
		read(a[i]);
	/*基本同一*/
	bn=len=sqrt(n);
	for(rint i=1;i<=bn;++i){
		L[i]=(i-1)*len+1;
		R[i]=i*len;
	}
	if(R[bn]<n){
		L[++bn]=R[bn-1]+1;
		R[bn]=n;
	}
	for(rint i=1;i<=bn;i++){
		for(int j=L[i];j<=R[i];j++){
			block[j]=i;
			st[i][++st[i][0]]=a[j]; //将初值放入st[][]并排序使有序
		}
		sort(st[i]+1,st[i]+1+st[i][0]);
	}
	for(rint i=1;i<=n;++i){
		int opt,l,r,c;
		read(opt);
		read(l);
		read(r);
		read(c);
		if(!opt) add(l,r,c); //修改
		else Write(que(l,r,c*c),'\n'); //查询
	}
}

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数列分块入门 6

修改：单点插入

查询：单点值

这道题我们采用动态插入的方法

借助vector的insert过程我们可以方便地完成插入操作

而插入的位置可以用下面一段代码找到：

(x初值为所要找的下标，终值为所在块中的下标，p为所在块的编号，vec[]为块所用的存储结构)

while(x>vec[p].size()) x-=vec[p].size(),p++;

而查询的操作也需要调用上面一段代码即可轻松找到所要位置

ε = = (づ′▽`)づ

有本题数据是随机的，以上的部分已经可以应对，但如果不随机呢？

不停地插入会使某个块变得十分臃肿，使复杂度退化为\(O(n^2)\)

那该怎么办呢？

我们采用分块重构，当某个块超过原块长的\(\sqrt 块长\)倍后，拆掉原有块，组建新的块

重构部分代码如下：

	int n=0; //从0开始计数元素数
    for(rint i=1;i<=bn;i++){
        int kkk=vec[i].size();
        for(int j=0;j<kkk;j++)
            a[++n]=vec[i][j]; //将原来块中元素按顺序移入a[]
        vec[i].clear(); //清空原块
    }
    len=sqrt(n); //重新定块长
    for(rint i=1;i<=n;i++)
        vec[(i-1)/len+1].push_back(a[i]); //将a[]中元素重新分块
    bn=(n-1)/len+1; //重新确定块数
    lim=len*sqrt(len); //重新定限制

(tips.LOJ上以及hzw的题解中倍数都定为20倍，其实是\(\sqrt[4] {n}\)，比较粗略，可以用我的准确倍数优化，即上方代码的最后一行)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rint register int
using namespace std;
const int N=200050,B=460; //开双倍内存
int a[N],n,len,lim,bn;
vector<int> vec[B];
struct res{int block,pos;};
inline res get(int x){ //获取位置，见上方解释~~
    int p=1;
    while(x>vec[p].size()) x-=vec[p].size(),p++;
    return (res){p,x-1};
}
inline void rebuild(){ //重构，见上方解释~~
    int n=0;
    for(rint i=1;i<=bn;i++){
        int kkk=vec[i].size();
        for(int j=0;j<kkk;j++)
            a[++n]=vec[i][j];
        vec[i].clear();
    }
    len=sqrt(n);
    for(rint i=1;i<=n;i++)
        vec[(i-1)/len+1].push_back(a[i]);
    bn=(n-1)/len+1;
    lim=len*sqrt(len);
}
inline void edi(int x,int v){
    res now=get(x);
    vec[now.block].insert(vec[now.block].begin()+now.pos,v); //找到位置后用insert插入
    if(vec[now.block].size()>lim) rebuild(); //如果块大小超过限制就重构
}
inline int que(int x){
    res now=get(x); //直接查询
    return vec[now.block][now.pos];
}
signed main(){
    read(n);
    for(rint i=1;i<=n;i++)
        read(a[i]);
    len=sqrt(n);
    for(rint i=1;i<=n;i++)
        vec[(i-1)/len+1].push_back(a[i]); //分块
    bn=(n-1)/len+1;
    lim=len*sqrt(len); //定限制
    while(n--){
        int opt,l,r,c;
        read(opt),read(l),read(r),read(c);
        if(!opt) edi(l,r);
        else Write(que(r),'\n');
    }
}

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数列分块入门 7

修改：区间加，区间乘

查询：单点查询

这道题十分经典，洛谷P3373是它的区间求和版，用线段树做

对于这道题，你需要有一个小学前置知识：乘法优先级比加法高

因此，在这道题中，对于每个块我们所要维护的两个信息：加法标记和乘法标记，很明显乘法标记优先级是要高于加法标记的

之后就是分类讨论啦：

• 设整块x的加法标记为add，乘法标记为mul，给出的操作值为val，则：

1. 当x要进行一次加法操作时：

add+=val;

1. 当x要进行一次乘法操作时：

mul*=val;
add*=val;

• 对于零块，暴力枚举修改即可

另外，由于由于零块操作的不确定性，对零块要单独进行一次push操作，用改块的标记去修改该块中的每个元素（先乘后加），并将乘标记归1，加标记归0

以上就是修改操作

至于查询，直接将元素值先乘上它的乘法标记，再加上它的加法标记即可

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rint register int
using namespace std;
const int mod=1e4+7,N=1e5+20,B=335;
int n,a[N],block[N],L[B],R[B],mul[B],add[B],bn,len;
inline void push(const int &x){
    for(rint i=L[x];i<=R[x];i++)
        a[i]=(a[i]*mul[x]%mod+add[x])%mod;
    mul[x]=1; //千万记得要将标记还原！！！本人就在这里错过。。。
    add[x]=0;
}
inline void edi(bool flag,int l,int r,int v){ //flag表示当前操作种类，1是乘，0是加
    int p=block[l],q=block[r];
    push(p);
    if(p==q){
        for(rint i=l;i<=r;i++)
            a[i]=flag?(a[i]*v)%mod:(a[i]+v)%mod; //暴力枚举修改
        return ;
    }
    push(q);
    for(rint i=p+1;i<=q-1;i++){
        if(flag){
            (mul[i]*=v)%=mod; //乘法对两种标记都有影响
            (add[i]*=v)%=mod;
        }
        else{
            (add[i]+=v)%=mod;
        }
    }
    for(rint i=l;i<=R[p];i++)
        a[i]=flag?(a[i]*v)%mod:(a[i]+v)%mod; //同理，暴力枚举
    for(rint i=L[q];i<=r;i++)
        a[i]=flag?(a[i]*v)%mod:(a[i]+v)%mod;
}
signed main(){
    read(n);
    for(rint i=1;i<=n;i++)
        read(a[i]),a[i]%=mod;
    bn=len=sqrt(n);
    for(rint i=1;i<=bn;i++){
        L[i]=(i-1)*len+1;
        R[i]=i*len;
    }
    if(R[bn]<n){
        L[++bn]=R[bn-1]+1;
        R[bn]=n;
    }
    for(rint i=1;i<=bn;i++){
        mul[i]=1; //记得乘法标记初值为1
        for(rint j=L[i];j<=R[i];j++)
            block[j]=i;
    }
    while(n--){
        int opt,l,r,c;
        read(opt),read(l),read(r),read(c);
        if(opt<=1){
            edi(opt,l,r,c);
        }
        else{
            c=block[r];
            Write((a[r]*mul[c]%mod+add[c])%mod,'\n');
        }
    }
}

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数列分块入门 8

修改：区间赋值

查询：区间计数

区间赋值的操作非常简单暴力，枚举即可

对于查询，我们发现所有块大致可以被分为2类，即数字相同的，和数字不相同的

所以我们可以维护一个same[]数组，记录每个块的相同值，不同的话即为-oo

(tips.oo即无穷，可以选择为0x3f3f3f3f或0x7fffffff之类极值)

(tips.hzw的代码是可以被hack的，因为他的-oo是-1，而我们知道一个块内的元素是有可能全-1的)

有了same[]后怎么办呢？

当然是奇技淫巧 有技巧地暴力啦！

1. 赋值可以被简化，整块直接O(1)修改same值即可，左右零散块再暴力枚举
2. 计数时，对于块x，查询值v，可以用下面一段伪代码进行快速判断：

if(same[x]==-1){
	from 左边界 to 右边界
		枚举判断;
}
else
if(same[x]==v){
	ans+=右边界-左边界+1;
}
else{
	ans+=0;
}

1. 为了避免冗余操作，在每次要求查询前，对要被查询且same值被修改过的块进行一次push操作，将该块的same值赋给该块中的每一个元素，进行维护

至于复杂度，让我再引用一次hzw大佬的证明：

这样看似最差情况每次都会耗费 \(O(n)\) 的时间，但其实可以这样分析：

假设初始序列都是同一个值，那么查询是 \(O(\sqrt n)\) ，如果这时进行一个区间操作，它最多破坏首尾2个块的标记，所以只能使后面的询问至多多2个块的暴力时间，所以均摊每次操作复杂度还是 \(O(\sqrt n)\) 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rint register int
using namespace std;
const int N=1e5+30,B=333,oo=0x3f3f3f3f;
int a[N],block[N],L[B],R[B],same[B],n,bn,len;
inline void push(const int &x){ //用same维护块内元素，应对暴力枚举的情况
    if(same[x]!=-oo){
        for(rint i=L[x];i<=R[x];i++)
            a[i]=same[x];
        same[x]=-oo;
    }
}
inline int work(int l,int r,int v){
    int p=block[l],q=block[r],res=0;
    push(p); //维护左块
    if(p==q){
        if(same[p]==v) return r-l+1; //如果same值满足条件，直接计算出结果
        for(rint i=l;i<=r;i++) //暴力枚举&赋值
            if(a[i]==v) res++;
            else a[i]=v;
        return res;
    }
    push(q); //维护右块
    for(rint i=p+1;i<=q-1;i++){
        if(same[i]==v) res+=R[i]-L[i]+1;
        else{
            if(same[i]==-oo)
                for(rint j=L[i];j<=R[i];j++)
                    if(a[j]==v) res++;
                    else a[j]=v;
        }
        same[i]=v; //记得把整块same标记更换掉
    }
    /*以下处理方法同上p==q时的情况*/
    if(same[p]==v) res+=R[p]-l+1;
    else
    for(rint i=l;i<=R[p];i++)
        if(a[i]==v) res++;
        else a[i]=v;
    if(same[q]==v) res+=r-L[q]+1;
    else
    for(rint i=L[q];i<=r;i++)
        if(a[i]==v) res++;
        else a[i]=v;
    return res;
}
signed main(){
    read(n);
    for(rint i=1;i<=n;i++)
        read(a[i]);
    bn=len=sqrt(n);
    for(rint i=1;i<=bn;i++){
        L[i]=(i-1)*len+1;
        R[i]=i*len;
    }
    if(R[bn]<n){
        L[++bn]=R[bn-1]+1;
        R[bn]=n;
    }
    for(rint i=1;i<=bn;i++){
        same[i]=-oo; //一开始认为块内每个元素都不相同，打个-oo标记
        for(rint j=L[i];j<=R[i];j++)
            block[j]=i;
    }
    while(n--){
        int l,r,c;
        read(l),read(r),read(c);
        Write(work(l,r,c),'\n');
    }
}