[BZOJ2138]stone(Hall定理，线段树)

Description

话说Nan在海边等人，预计还要等上M分钟。为了打发时间，他玩起了石子。Nan搬来了N堆石子，编号为1到N，每堆

包含Ai颗石子。每1分钟，Nan会在编号在\([L_i,R_i]\)之间的石堆中挑出任意Ki颗扔向大海（好疼的玩法），如果\([L_i,R_i]\)剩下石子不够\(K_i\)颗，则取尽量地多。为了保留扔石子的新鲜感，Nan保证任意两个区间\([L_i,R_i]\)和\([L_j,R_j]\)，不会存在\(L_i<=L_j\& R_j<=R_i\)的情况，即任意两段区间不存在包含关系。可是，如果选择不当，可能无法扔出最多的石子，这时Nan就会不高兴了。所以他希望制定一个计划，他告诉你他m分钟打算扔的区间\([L_i,R_i]\)以及\(K_i\)。现在他想你告诉他，在满足前i-1分钟都取到你回答的颗数的情况下，第i分钟最多能取多少个石子。

\(n\le 40000\)

Solution

Hall定理：

设二分图中\(\text{G=< V1,V2,E >}\)中 \(\text{|V1|=m<=|V2|=n}\) ,\(\text{G}\)中存在从 \(\text{V1}\)到\(\text{V2}\)的完全匹配当且仅当\(\text{V1}\)中任意\(\text{k(k=1,2,...,m)}\)个顶点至少与\(\text{V2}\)中\(\text{k}\)个顶点是相邻的。

建立二分图匹配模型，左部节点为石头（每个点拆为A[i]个点），右部节点为需求（每个点拆为K[i]个点），从小到大依次加入右部节点，然后询问在之前需求点匹配数不变的情况下该点最多能匹配的点数。

不难发现最后是一部分完美匹配+一部分不完美匹配，根据hall定理，一些点具有完美匹配要求任取左部区间，该区间石头数大于等于包含在区间内的需求数。

那么设 \(a[i]\) 表示右端点 \(\le i\) 的区间需求量， \(b[i]\) 为左端点 \(\le i\) 的区间的需求量。

那么区间 \([l,r]\) ：

石子数 \(=s[r] - s[l - 1]\)

需求数 \(=a[r] - b[l - 1]\)

那么只要满足 \(\forall 0 \le i < j \le n\)，

\[(s[j] - s[i]) - (a[j] - b[i]) \geq 0
\]

设 \(f[i] = s[i] - a[i], g[i] = s[i] - b[i]\)。

考虑区间 \([l,r]\) 满足 \(k\) 的需求量造成的影响。

\[f[r...n] -= k\\
g[l...n] -= k
\]

接下来分类讨论，列出不等式：

\[i\in [0, l - 1], j\in [r + 1, n]\\
f[j] - k - g[i] \geq 0\\
k\le min(f[j]) - max(g[i])\\
k\le min(f[r+1...n]) - max(g[1...l-1])
\]

当 \(k\) 取 \(min(f[r+1...n]) - max(g[0...l-1])\) 时最优。

用线段树维护即可。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <fstream>

typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;

#define SZ(x) ((int)x.size())
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define MP(x, y) std::make_pair(x, y)
#define DE(x) cerr << x << endl;
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define GO cerr << "GO" << endl;
#define rep(i, a, b) for (register int (i) = (a); (i) <= (b); ++(i))

using namespace std;

inline void proc_status()
{
	ifstream t("/proc/self/status");
	cerr << string(istreambuf_iterator<char>(t), istreambuf_iterator<char>()) << endl;
}
inline int read()
{
	register int x = 0; register int f = 1; register char c;
	while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
	while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c xor 48), isdigit(c = getchar()));
	return x * f;
}
template<class T> inline void write(T x)
{
	static char stk[30]; static int top = 0;
	if (x < 0) { x = -x, putchar('-'); }
	while (stk[++top] = x % 10 xor 48, x /= 10, x);
	while (putchar(stk[top--]), top);
}
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }

const int maxN = 4e4;

int n, m;
int s[maxN + 2], K[maxN + 2];

#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
#define Rson rs, mid + 1, r
#define Lson ls, l, mid
int f[maxN << 2], g[maxN << 2], tagG[maxN << 2], tagF[maxN << 2];

void pushup(int x)
{
	f[x] = min(f[ls], f[rs]);
	g[x] = max(g[ls], g[rs]);
}

void build(int x, int l, int r)
{
	if (l == r) { f[x] = g[x] = s[l]; return; }
	int mid = l + r >> 1;
	build(Lson); build(Rson);
	pushup(x);
}

void pushG(int x, int k)
{
	tagG[x] += k;
	g[x] += k;
}

void pushF(int x, int k)
{
	tagF[x] += k;
	f[x] += k;
}

void pushdown(int x)
{
	if (tagG[x] != 0)
	{
		pushG(ls, tagG[x]);
		pushG(rs, tagG[x]);
		tagG[x] = 0;
	}
	if (tagF[x] != 0)
	{
		pushF(ls, tagF[x]);
		pushF(rs, tagF[x]);
		tagF[x] = 0;
	}
}

void addF(int x, int l, int r, int L, int R, int k)
{
	if (L <= l and r <= R) { return pushF(x, k); }
	int mid = l + r >> 1;
	pushdown(x);
	if (L <= mid) addF(Lson, L, R, k);
	if (R > mid) addF(Rson, L, R, k);
	pushup(x);
}

void addG(int x, int l, int r, int L, int R, int k)
{
	if (L <= l and r <= R) { return pushG(x, k); }
	int mid = l + r >> 1;
	pushdown(x);
	if (L <= mid) addG(Lson, L, R, k);
	if (R > mid) addG(Rson, L, R, k);
	pushup(x);
}

int queryG(int x, int l, int r, int L, int R)
{
	if (L <= l and r <= R) { return g[x]; }
	int mid = l + r >> 1;
	pushdown(x);
	int ans = -0x3f3f3f3f;
	if (L <= mid) chkmax(ans, queryG(Lson, L, R));
	if (mid < R) chkmax(ans, queryG(Rson, L, R));
	return ans;
}

int queryF(int x, int l, int r, int L, int R)
{
	if (L <= l and r <= R) { return f[x]; }
	int mid = l + r >> 1;
	pushdown(x);
	int ans = 0x3f3f3f3f;
	if (L <= mid) chkmin(ans, queryF(Lson, L, R));
	if (mid < R) chkmin(ans, queryF(Rson, L, R));
	return ans;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("stone.in", "r", stdin);
	freopen("stone.out", "w", stdout);
#endif
	int x, y, z, P;
	scanf("%d", &n);
	scanf("%d%d%d%d", &x, &y, &z, &P);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		s[i] = s[i - 1] + ((i - x) * (i - x) + (i - y) * (i - y) + (i - z) * (i - z)) % P;
	scanf("%d", &m);
	scanf("%d%d%d%d%d%d", &K[1], &K[2], &x, &y, &z, &P);
	for (int i = 3; i <= m; ++i)
		K[i] = (1ll * x * K[i - 1] + 1ll * y * K[i - 2] + z) % P;
	build(1, 0, n);
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		int L, R, k;
		scanf("%d%d", &L, &R);
		printf("%d\n", k = min(queryF(1, 0, n, R, n) - queryG(1, 0, n, 0, L - 1), K[i]));
		addF(1, 0, n, R, n, -k);
		addG(1, 0, n, L, n, -k);
	}
	return 0;
}