我们枚举每一条边的流量x,将它作为底流(也就是比它大的的流量变成差值,比它小的流量为0),然后我们设x就是路径上第K大的那个边的流量。然后跑最短路,加上dis[n]就是当前的答案。然后取min即可。

算法时间复杂度\(O(n^2logn)\)

为什么这样子就是最小的呢?????我也很懵逼啊

因为你考虑ans_x是第K大的流量,设当前处理的为x。

如果按照上述规定来跑最短路,显然上述所求最短路加上K*ans_x就是答案,而且这个最短路径是一定确定的。下面我们就要求ans_x——如果我们进行遍历然后取min的话,如果保证x!=ans_x的时候不优呢?

如果x比ans_x小,那么“还有流量”的边一定大于等于K。这样的话最后统计答案最短路会长,x变小——但是变化幅度没有前面的大,所以不优。

如果x比ans_x大,那么“还有流量”的边一定小于等于K。这样的话最后统计答案最短路会短,x变大——但是变化幅度比前面的大,所以不优。

代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#define MAXN 5010
using namespace std;
int n,m,t,k;
int head[MAXN],done[MAXN];
long long ans=(long long)1e15;
long long dis[MAXN];
vector<int>vec;
struct Edge{int nxt,to,dis;}edge[MAXN<<1];
struct Node
{
int u;
long long w;
friend bool operator < (struct Node x,struct Node y)
{return x.w>y.w;}
};
inline void add(int from,int to,int dis)
{
edge[++t].nxt=head[from];
edge[t].to=to;
edge[t].dis=dis;
head[from]=t;
}
inline long long dij(int x)
{
priority_queue<Node>q;
for(int i=0;i<=n;i++) dis[i]=(long long)1e15,done[i]=0;
q.push((Node){1,0}); dis[1]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.top().u; q.pop();
if(done[u]) continue;
done[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].to;
long long w=max(edge[i].dis-x,0);
//printf("v=%d w=%lld %lld\n",v,w,edge[i].dis);
if(dis[u]+w<dis[v])
dis[v]=dis[u]+w,q.push((Node){v,dis[v]});
}
}
return dis[n];
}
int main()
{
//freopen("skd.in","r",stdin);
//freopen("skd.out","w",stdout);
freopen("ce.in","r",stdin);
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w),add(v,u,w);
vec.push_back(w);
}
ans=dij(0);
printf("%lld\n",ans);
for(int i=0;i<vec.size();i++)
ans=min(ans,1ll*vec[i]*k+dij(vec[i])),printf("%lld\n",ans);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

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