bzoj4639 博士的选取器

题意

给出一个长度为n的正整数序列,要求把它划分成若干个连续的区间,使得每个区间的数字之和都不超过给定的lim.最后的代价等于每个区间的最大值之和.求最小代价.n<=300000

分析

定义f[i]表示前i个数划分成若干个区间的最小代价,一眼是个1D1D动态规划,猜测有决策单调性,打表发现并没有.然后也看不出什么很妙的性质.

感觉分治也许能做,推一推发现确实可以.定义solve(l,r)处理f[l...mid]到f[mid+1...r]的转移,按照最大值在左边/右边分两种情况处理,都可以线性解决.递归时要先solve(l,mid),然后处理[l,mid]到[mid+1,r]的转移,再solve(mid+1,r).细节见代码,不是很难写.

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=300006;
typedef long long ll;
int n;ll lim;
ll f[maxn];
ll pre[maxn],a[maxn];
ll Min[maxn],Max[maxn],mark[maxn];
void gmin(ll &a,ll b){
  if(a>b)a=b;
}
void solve(int l,int r){
  if(l==r)return;
  int mid=(l+r)>>1;
  solve(l,mid);
  Min[mid]=f[mid];Max[mid]=a[mid];
  for(int i=mid-1;i>=l;--i)Min[i]=min(Min[i+1],f[i]),Max[i]=max(Max[i+1],a[i]);
  Max[mid+1]=a[mid+1];
  for(int i=mid+2;i<=r;++i)Max[i]=max(Max[i-1],a[i]);
  int L=l,pt=mid+1;
  for(int i=mid+1;i<=r;++i){
    while(pre[i]-pre[L]>lim)L++;
    while((pt-1)>l&&Max[pt-1]<=Max[i])--pt;
    if(L>mid)break;
    gmin(f[i],Max[i]+Min[max(pt-1,L)]);
  }
  for(int i=mid+1;i<=r;++i)mark[i]=(1ll<<60);
  int R=r;pt=mid;
  for(int i=mid;i>l;--i){
    while(pre[R]-pre[i-1]>lim)R--;
    if(R<=mid)break;
    while(pt+1<=r&&Max[pt+1]<=Max[i])++pt;
    if(pt>mid){
      gmin(mark[min(pt,R)],f[i-1]+Max[i]);
    }
  }
  for(int i=r;i>=mid+1;--i){
    gmin(f[i],mark[i]);
    gmin(mark[i-1],mark[i]);
  }
  solve(mid+1,r);
}
int main(){
  scanf("%d%lld",&n,&lim);
  for(int i=1;i<=n;++i){
    scanf("%lld",&a[i]);
    pre[i]=pre[i-1]+a[i];
  }
  for(int i=1;i<=n;++i){
    if(pre[i]<=lim)f[i]=max(a[i],f[i-1]);
    else f[i]=1ll<<60;
  }
  solve(1,n);
  printf("%lld\n",f[n]);
  return 0;
}