Agc019_C Fountain Walk

传送门

题目大意

给定网格图上起点和终点每个格子是长为$100$米的正方形，你可以沿着线走。

平面上还有若干个关键点，以每个关键点为圆心，$10$为半径画圆，表示不能进入圆内的线，但是可以从圆周上走，求起点到终点的最短距离。

保证任意两个关键点不在同一条水平或竖直的线上。

题解

先通过翻转网格图使得起点$S$在终点$Y$的左下方，由于有任意两两关键点不在同一水平竖直的线上，通过简单计算发现，我们只可能往右或往上冲着最终的终点走。

随意我们只需要横纵坐标都在起点终点之间的关键点即可。

对于一个关键点，如果经过它转$90°$，那么路程的长度就会减少，如果绕过半圆继续直走，那么路程长度就会增加。

我们贪心取关键点。由于起点在左下方，终点在右上方，每次向右上方走，那么最终经过的关键点一定是一个上升的序列。

我们只需要求这个上升的序列的长度即可。

答案等于起点终点的曼哈顿距离$-$经过关键点的数量$\times$绕$90$度省去的路程。

注意，当最长上升子序列的长度达到$\min\{Y_T-Y_S+1,X_T-X_S+1\}$时，说明至少绕过一个关键点的半圆，需要特判。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define M 200020
using namespace std;
namespace IO{
	const int BS=(1<<20)+5; int Top=0;
	char Buffer[BS],OT[BS],*OS=OT,*HD,*TL,SS[20]; const char *fin=OT+BS-1;
	char Getchar(){if(HD==TL){TL=(HD=Buffer)+fread(Buffer,1,BS,stdin);} return (HD==TL)?EOF:*HD++;}
	void flush(){fwrite(OT,1,OS-OT,stdout);}
	void Putchar(char c){*OS++ =c;if(OS==fin)flush(),OS=OT;}
	void write(int x){
		if(!x){Putchar('0');return;} if(x<0) x=-x,Putchar('-');
		while(x) SS[++Top]=x%10,x/=10;
		while(Top) Putchar(SS[Top]+'0'),--Top;
	}
	int read(){
		int nm=0,fh=1; char cw=Getchar();
		for(;!isdigit(cw);cw=Getchar()) if(cw=='-') fh=-fh;
		for(;isdigit(cw);cw=Getchar()) nm=nm*10+(cw-'0');
		return nm*fh;
	}
}
using namespace IO;
const double D=11.4159265358979323846264338328;
const double K=-4.2920367320510338076867830836;
int n,m,maxy,sx,sy,ex,ey,tot,c[M],pos[M],now; double ans;
struct pot{
	int X,Y; void gtin(){X=read(),Y=read(),maxy=max(maxy,Y+1);}
	bool ft(){return X>=sx&&X<=ex&&Y>=sy&&Y<=ey;}
	bool operator <(const pot&ot)const{return X<ot.X;}
}p[M],t[M];
int main(){
	sx=read(),sy=read(),ex=read(),ey=read(),maxy=max(sy,ey);
	if(sx>ex) swap(sx,ex),swap(sy,ey); n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i].gtin();
	if(sy>ey){
		for(int i=1;i<=n;i++) p[i].Y=maxy-p[i].Y;
		sy=maxy-sy,ey=maxy-ey;
	} sort(p+1,p+n+1),ans=(ey+ex-sy-sx)*100.0;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(p[i].ft()) t[++tot]=p[i];
	memset(c,0x3f,sizeof(c)),c[0]=now=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		int l=1,r=now,md,res=0;
		while(l<=r){md=((r+l)>>1);if(c[md]<t[i].Y) res=md,l=md+1;else r=md-1;}
		if(res==now) now++; c[res+1]=min(c[res+1],t[i].Y);
	}
	if(now<=ex-sx&&now<=ey-sy) ans+=now*K;
	else ans+=(now-1)*K+D; printf("%.13lf\n",ans);
	return 0;
}