区间DP【p2858】[USACO06FEB]奶牛零食Treats for the Cows

Description

约翰经常给产奶量高的奶牛发特殊津贴，于是很快奶牛们拥有了大笔不知该怎么花的钱．为此，约翰购置了N(1≤N≤2000)份美味的零食来卖给奶牛们．每天约翰售出一份零食．当然约翰希望这些零食全部售出后能得到最大的收益．这些零食有以下这些有趣的特性：

•零食按照1．．N编号，它们被排成一列放在一个很长的盒子里．盒子的两端都有开口，约翰每

天可以从盒子的任一端取出最外面的一个．

•与美酒与好吃的奶酪相似，这些零食储存得越久就越好吃．当然，这样约翰就可以把它们卖出更高的价钱．

•每份零食的初始价值不一定相同．约翰进货时，第i份零食的初始价值为Vi(1≤Vi≤1000)．

•第i份零食如果在被买进后的第a天出售，则它的售价是vi×a．

Vi的是从盒子顶端往下的第i份零食的初始价值．约翰告诉了你所有零食的初始价值，并希望你能帮他计算一下，在这些零食全被卖出后，他最多能得到多少钱．

Input

第一行,一个整数\(N\)

第\(2\)到\(N+1\)行每一行一个价值\(v\)

Output

约翰能得到的最多的钱.

很明显的一个区间\(DP\)

但是维护日期会很难。

一般区间\(DP\)会有两种套路

1.枚举长度,(正序即可

2.枚举位置(倒叙 (貌似正序不太好做?)

我们设\(f[i][j]\)代表卖掉\(i\)到\(j\)之间的物品能获得的最大价值.

考虑如何去维护一个东西在第\(i\)天被卖掉。

我们倒叙从\(n\)开始向前枚举,显然我们的日期是在"回溯".

因此维护一个前缀和数组\(sum\).

每次倒叙更新的话,可以重复累加中间部分物品的值.就达到了第\(i\)天被卖掉的效果.

状态转移的话,应该不是很难理解.这里就不解释了

\[f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i][j-1])+sum[j]-sum[i-1]
\]

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<iostream>
#define R register
using namespace std;
inline void in(int &x)
{
	int f=1;x=0;char s=getchar();
	while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	x*=f;
}
int n,val[2008],sum[2008];
int f[2008][2008];
int main()
{
	in(n);
	for(R int i=1;i<=n;i++)in(val[i]),sum[i]=sum[i-1]+val[i];
	for(R int i=n;i>=1;i--)
		for(R int j=i;j<=n;j++)
			f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i][j-1])+sum[j]-sum[i-1];
	printf("%d",f[1][n]);
}