LCIS最长公共上升子序列
最长公共上升子序列LCIS,如字面意思,就是在对于两个数列A和B的最长的单调递增的公共子序列。
这道题目是LCS和LIS的综合。
在LIS中,我们通过两重循环枚举当序列以当前位置为结尾时,A序列中当前位置之前的数是否比当前位置的数大为条件,进行对于“最长上升子序列”的长度的转移。
方程简单的表示为:f[i] = max{f[i], f[j +1]}(0 <= j < i)
边界为f[0] = 0, 目标为max{f[i]}(1 <= I <= N)
在LCS中,我们使用二维数组,对于状态“f[i, j]表示前缀子串a[1 ~ i]和b[1 ~ j]的最长公共子序列的长度”,将阶段划分为已经处理的前缀长度,f[Ii, j]的长度转移为f[i - 1][j]和f[i][j - 1]的长度,即i的上一位置得到的最长公共子序列长度与当前位置j的前一个位置的最长公共子序列长度,当a[i] == b[j]是,我们还要比较f[i][j]与f[i - 1][j - 1] +1的长度,即a序列与b序列在前一位置的最长公共子序列长度向后扩展1的总长度与当前位置所能够得到的最长公共子序列的长度进行比较,更新最长公共子序列长度
对于LCIS,最长公共上升子序列,我们首先要解决的是公共,然后在解决上升,综合LIS和LCS解法,我们容易得到一个三重循环的写法。
F[I, j]表示A1~Ai与B1~Bj可以构成以Bj为结尾的LCIS的长度。
假设A0 = B0= -∞。
当Ai != Bj时,有f[i, j] = f[i – 1, j]
当Ai == Bj时,有
F[i, j] = max{f[i – 1, k]} + 1(0 <= k < j, Bk < Bj) = max(f[i – 1, k]) + 1(0 <= k <j, Bk < Ai)
这样我们很容易就能把代码写出来
for(int i = ; i <= n; ++i)
for(int j = ; j <= m; ++j) {
if(a[i] == b[j])
for(int k = ; k < j; ++k)
if(b[k] < a[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - ][k] + );
else f[i][j] = f[i - ][j];
}
但是三重循环显然不是一个优秀的解法,我们思考如何优化。
在转移过程中,我们把满足0 <= k < j并且Bk < Ai的k构成的集合称为f[i, j]进行状态转移时的决策集合,记为s[i, j],注意到当第二层循环j增加到m时,j是个定值, 这使得条件Bk小于Ai是固定的,也就是说对于决策集合s[i, j]中的k,Bk小于当前层的Ai是不会有变动的
因此,当变量j增加1是,k的范围变为0 <= k < j + 1,即整数j可能会进入新的决策集合,也就是说,我们只需要O(1)判断Bj < Ai是否满足即可,已经在决策集合中的数则一定不会被去除….(emmm好难懂,终于想通了),再详细的说就是,当j增加1时,对于k,实际取值变化只是右端多加了1,所以我在填充决策集合时,实际上只需要对刚刚增大的j值进行判断就行了,也就是直接判断Bj < Ai是否成立来判断能否加入决策集合
s(i, j +1) = <1> s(i, j) (Bj >= Ai)
<2> s(i, j) ∪ {j} (Bj < Ai)
所以上述状态转移方程只需要两重循环即可求解
for(int i = ; i <= n; ++i) {
int val = ;//val是决策集合s(i, j)中f[i - 1][k]的最大值
if(b[] < a[i]) val = f[i - ][];//j = 1时,0可以作为b的取值
for(int j = ; j <= m; ++j) {
if(a[i] == b[j]) f[i][j] = val + ;
else f[i][j] = f[i - ][j];
if(b[j] < a[i]) val = max(val, f[i - ][j]);//j即将增大为j + 1,检查j能否进入决策集合
}
}
从这道题的优化中,我们可以总结到,在实现状态转移方程时,要注意观察决策集合的范围随着状态的变化情况,对于“决策集合中的元素只增多不减少”的情景,就可以像本体一样维护一个变量来记录决策集合的当前信息,避免重复扫描,把转移的复杂度降低一个量级
LCIS最长公共上升子序列的更多相关文章
- [CodeForces10D]LCIS(最长公共上升子序列) - DP
Description 给定两个数列,求最长公共上升子序列,并输出其中一种方案. Input&Output Input 第一行一个整数n(0<n<=500),数列a的长度. 第二行 ...
- LCIS 最长公共上升子序列问题DP算法及优化
一. 知识简介 学习 LCIS 的预备知识: 动态规划基本思想, LCS, LIS 经典问题:给出有 n 个元素的数组 a[] , m 个元素的数组 b[] ,求出它们的最长上升公共子序列的长度. 例 ...
- CF10D LCIS 最长公共上升子序列
题目描述 This problem differs from one which was on the online contest. The sequence a1,a2,...,an a_{1}, ...
- LCIS(最长公共上升子序列)Vijos1264神秘的咒语
描述 身为拜月教的高级间谍,你的任务总是逼迫你出生入死.比如这一次,拜月教主就派你跟踪赵灵儿一行,潜入试炼窟底. 据说试炼窟底藏着五行法术的最高法术:风神,雷神,雪妖,火神,山神的咒语.为了习得这些法 ...
- LCIS 最长公共上升子序列
这个博客好久没写了,这几天为了准备清华交叉研究院的夏令营,在复习大一大二ACM训练时的一些基础算法,正好碰到LICS,发现没有写在博客里,那就顺便记录一下好了. 参考链接:http://blog.cs ...
- LCIS(最长公共上升子序列)模板
求出LCIS并输出其路径. 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <string> 4 #inc ...
- CodeForces 10D. LCIS 最长公共上升子序列模板题 + 打印路径
推荐一篇炒鸡赞的blog. 以下代码中有打印路径. #include <algorithm> #include <iostream> #include <cstring& ...
- 【简单dp】poj 2127 Greatest Common Increasing Subsequence【最长公共上升子序列】【模板】
Sample Input 5 1 4 2 5 -12 4 -12 1 2 4 Sample Output 2 1 4 题目:给你两个数字序列,求出这两个序列的最长公共上升子序列.输出最长的长度,并打表 ...
- 最长公共上升子序列(LCIS)
最长公共上升子序列慕名而知是两个字符串a,b的最长公共递增序列,不一定非得是连续的.刚开始看到的时候想的是先用求最长公共子序列,然后再从其中找到最长递增子序列,可是仔细想一想觉得这样有点不妥,然后从网 ...
随机推荐
- TCP/IP Note2
TCP/IP寻址 TCP/IP使用32个比特或者4个0到255之间的数字来为计算机编址. 1. IP地址 每个计算机必须有一个IP地址才能够连入Internet中. 每个IP包必须有一个地址才能够发送 ...
- 【题解】洛谷P1975排序
分块,注意重复的值之间的处理.跟普通分块的操作一样的啦,具体可以参见‘不勤劳的图书管理员’. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; # ...
- ZJOI2018 Day2 滚粗记 + 流水账
一脸懵逼地就被直接拉过来浙江省选了,一年参加两次省选成就达成-- 讲课啥的都没听,过去休息了一天就进行比赛了.考试之前感冒没好透,精神不是 \(100\%\) 的状态,但是并无大碍(反正最后都很凉). ...
- POJ 3801/HDU 3157 Crazy Circuits | 有下界的最小流
题目: POJ最近总是炸 所以还是用HDU吧http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3157 题解: 题很长,但其实就是给个有源汇带下界网络流(+是源,-是 ...
- BZOJ3456 城市规划 【多项式求逆】
题目链接 BZOJ3456 题解 之前我们用分治\(ntt\)在\(O(nlog^2n)\)的复杂度下做了这题,今天我们使用多项式求逆 设\(f_n\)表示\(n\)个点带标号无向连通图数 设\(g_ ...
- Linux设置虚拟内存-创建和启用Swap交换区
如果你的服务器的总是报告内存不足,并且时常因为内存不足而引发服务被强制kill的话,在不增加物理内存的情况下,启用swap交换区作为虚拟内存是一个不错的选择,如果是SSD硬盘,正常读写速度都在300M ...
- MFC 监控界面上所有文本框值的变化
//控件消息,菜单,按钮等 BOOL CXXDlg::OnCommand(WPARAM wParam, LPARAM lParam) { // TODO: 在此添加专用代码和/或调用基类 int wm ...
- 对request.getSession(false)的理解(附程序员常疏忽的一个漏洞)
本文属于本人原创,转载请注明出处:http://blog.csdn.net/xxd851116/archive/2009/06/25/4296866.aspx [前面的话] 在网上经常看到有人对req ...
- php连接mysql报错——Fatal error: Call to undefined function mysql_connect() in
练习php连接mysql数据库 代码:mysql_connect("127.0.0.1:3306","root", ..... 浏览器报错:Fatal erro ...
- codevs3160 最长公共子串
传送门:http://codevs.cn/problem/3160/ [题解] CTSC前复习模板 sa的模板..记住基数排序就够了(还有height) 还有就是sa[i]表示排名为i的后缀是啥..r ...