jzoj5843

给定 n 个正整数序列 ，每个序列长度为m。

选择至少 1 个序列，在每个被选择的序列中选择一个元素，求出所有被选择的元素的 gcd。

求所有方案的结果之和，答案对 1e9+7 取模。两种方案不同，当且仅当存在至少一个元素，在一种方案中被选择，在另一种中没有。

這道題看n=20 m=1e5的範圍就知道不可能進行枚舉算法

枚舉是O(m^n）的，一定會tle,得想更加快速的方法

在計數問題中，我們經常會想到容斥原理

而且這道題的數範圍也只有1e5,我們應該想到按照每一個數的值來計算答案

在這道題之中，計算出“每一行能夠不選或只選1個數，但是必須至少選1個數，要求這些選出來的數被k整除”很容易。只要計cnt[i][j]表示第i行有多少個數是j的倍數。

如何求cnt數組，我們可以記錄cnt[i][j]，將cnt[i][a[i][j]]全部+1,代表現在，我們已經存儲了a[i][j]被自己整除的方案了

現在我們知道，當一個數是ak的倍數時，這個數同時也是a的倍數，所以我們可以知道，f[i][kj]可以用來更新f[i][j]。

則ans=(cnt[1][k]+1)(cnt[2][k]+1)…(cnt[n][k]+1)-1

在這道題中，一行有cnt[i][k]個數可以選擇，而且這一行可以一個數都不選，有cnt[i][k]+1種方案，全部乘起來就是答案

但是，我們還有可能一個數都沒有選，這種情況計算了進去，所以最後的方案要-1

在這道題中，我們也可以想到類似的思路

記ans[k]表示全局選出的數能夠被k整除的方案數

則ans[k]=(cnt[1][k]+1)(cnt[2][k]+1)…(cnt[n][k]+1)-1

用這個公式可以快速計算出所有的ans

但是，這道題要求求的是gcd==k的個數，這個公式不能滿足要求

因為我們選出的方案中，只代表gcd能夠被k整除，而不可以代表“gcd恰好為k的方案數"

實際上，我們還計算出了gcd為2k，gcd為3k等等的方案數，所以我們需要將其減去

設f[i]表示gcd恰好為i的方案數

則f[i]=ans[i]-f[2i]-f[3i]…-f[(n/i)i]

式子的前一項為"gcd被i整除"的方案數，但是我們不需要gcd為2i,3i…的方案，所以我們在後面將它們減去了。而在這個方程之中，我們可以倒序枚舉i，這樣我們可以保證計算出f[i]前，f[2i],f[3*i]…已經計算出來了

最後，由於題目要求，我們要記錄gcd的和，所以我們要求f[1]*1,f[2]*2…的值

這樣，我們就成功解決了本題