BFS、双向BFS和A*

1. BFS
2. 双向BFS
3. A*算法

光说不练是无用的。我们从广为人知的POJ 2243这道题谈起：题目大意：给定一个起点和一个终点。按骑士的走法（走日字），从起点到终点的最少移动多少次

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvd2RraXJjaGhvZmY=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="">

设A为寻路起点，B为目标终点。

1 BFS

BFS事实上是退化的A*算法。由于他没有启示函数做指引

Memory	Time
144K	407MS

简单的代码例如以下：

#include<iostream>

#include<queue>

using namespace std;

char ss[3];

char ee[3];

typedef struct node

{

    int x;

    int y;

    int steps;

}node;

int d[8][2]={{-2,1},{-2,-1},{-1,-2},{-1,2},{2,-1},{2,1},{1,-2},{1,2}};

int visited[8][8];

node s;

node e;

int in(node n)

{

    if(n.x<0||n.y<0||n.x>7||n.y>7)

        return 0;

    return 1;

}

void bfs()

{

    queue<node>q;

    memset(visited,0,sizeof(visited));

    q.push(s);

    visited[s.x][s.y]=1;

    while(!q.empty())

    {

        node st=q.front();

        q.pop();

        if(st.x==e.x&&st.y==e.y)

        {

            printf("To get from %s to %s takes %d knight moves.\n",ss,ee,st.steps);

            break;

        }

        for(int i=0;i<8;++i)

        {

            node t;

            t.x=st.x+d[i][0];

            t.y=st.y+d[i][1];

            if(in(t)&&visited[t.x][t.y]==0)

            {

                visited[t.x][t.y]=1;

                t.steps=st.steps+1;

                q.push(t);

            }

        }

    }

}

int main(int argc, char *argv[])

{

    while(scanf("%s %s",ss,ee)==2)

    {

        s.x=ss[0]-'a';

        s.y=ss[1]-'1';

        e.x=ee[0]-'a';

        e.y=ee[1]-'1';

        bfs();

    }

    return 0;

}

2 双向BFS

双向bfs就是用两个队列。一个队列保存从起点開始的状态，还有一个保存从终点開始向前搜索的状态，双向bfs主要是区分每一个格子是从起点開始搜索到的还是从终点開始搜索到的.每一个经过的格子结点保存到达该格子经过的步数。这样两边要是相交了相加就是结果

Memory	Time
144K	141MS

明显的省时间

#include<iostream>

#include<queue>

using namespace std;

char ss[3];

char ee[3];

typedef struct node

{

    int x;

    int y;

    int steps;

}node;

int d[8][2]={{-2,1},{-2,-1},{-1,-2},{-1,2},{2,-1},{2,1},{1,-2},{1,2}};

int visited[8][8];

int color[8][8];//区分当前位置是哪个队列查找过了

node s;

node e;

int in(node n)

{

    if(n.x<0||n.y<0||n.x>7||n.y>7)

        return 0;

    return 1;

}

int bfs()

{

    queue<node>qf;                          //我发现假设把qf和qb放在外面的话。节省的时间挺惊人的，耗时16MS

    queue<node>qb;

    memset(visited,0,sizeof(visited));

    memset(color,0,sizeof(color));

    qf.push(s);

    qb.push(e);

    visited[s.x][s.y]=0;

    visited[e.x][e.y]=1;

    color[s.x][s.y]=1;//着色

    color[e.x][e.y]=2;

    while(!qf.empty()||!qb.empty())

    {

        if(!qf.empty())

        {

            node st=qf.front();

            qf.pop();

            for(int i=0;i<8;++i)

            {

                node t;

                t.x=st.x+d[i][0];

                t.y=st.y+d[i][1];

                if(in(t))

                {

                    if(color[t.x][t.y]==0){

                        visited[t.x][t.y]=visited[st.x][st.y]+1;

                        color[t.x][t.y]=1;

                        qf.push(t);

                    }

                    else if(color[t.x][t.y]==2){

                        return visited[st.x][st.y]+visited[t.x][t.y];

                    }

                }

            }

        }

        if(!qb.empty())

        {

            node st=qb.front();

            qb.pop();

            for(int i=0;i<8;++i)

            {

                node t;

                t.x=st.x+d[i][0];

                t.y=st.y+d[i][1];

                if(in(t))

                {

                    if(color[t.x][t.y]==0){

                        visited[t.x][t.y]=visited[st.x][st.y]+1;

                        color[t.x][t.y]=2;

                        qb.push(t);

                    }

                    else if(color[t.x][t.y]==1){

                        return visited[st.x][st.y]+visited[t.x][t.y];

                    }

                }

            }

        }

    }

}

int main(int argc, char *argv[])

{

    // freopen("in.txt","r",stdin);

    while(scanf("%s %s",ss,ee)==2)

    {

        s.x=ss[0]-'a';

        s.y=ss[1]-'1';

        e.x=ee[0]-'a';

        e.y=ee[1]-'1';

        s.steps=0;

        e.steps=1;

        if(s.x==e.x&&s.y==e.y)

            printf("To get from %s to %s takes 0 knight moves.\n",ss,ee);

        else

            printf("To get from %s to %s takes %d knight moves.\n",ss,ee,bfs());

    }

    return 0;

}

3 A*算法

选择路径中经过哪个方格的关键是以下这个等式：F = G + H这里：

G = 从起点A。沿着产生的路径，移动到网格上指定方格的移动耗费。
H = 从网格上那个方格移动到终点B的预估移动耗费。

这常常被称为启示式的，可能会让你有点迷惑。

这样叫的原因是由于它仅仅是个推測。我们没办法事先知道路径的长度，由于路上可能存在各种障碍(墙，水。等等)。

A*算法步骤为：

把起始格加入到开启列表。
反复例如以下的工作：
- 寻找开启列表中F值最低的格子。我们称它为当前格。
- 把它切换到关闭列表。
- 对相邻的格中的每个？
  - 假设它不可通过或者已经在关闭列表中，略过它。反之例如以下。
  - 假设它不在开启列表中，把它加入进去。
    
    把当前格作为这一格的父节点。记录这一格的F,G,和H值。
  - 假设它已经在开启列表中。用G值为參考检查新的路径是否更好。更低的G值意味着更好的路径。假设是这样，就把这一格的父节点改成当前格，而且又一次计算这一格的G和F值。假设你保持你的开启列表按F值排序，改变之后你可能须要又一次对开启列表排序。
- 停止。当你
  - 把目标格加入进了关闭列表。这时候路径被找到。或者
  - 没有找到目标格，开启列表已经空了。
    
    这时候，路径不存在。
保存路径。从目标格開始，沿着每一格的父节点移动直到回到起始格。

这就是你的路径。

能够这样说，BFS是A*算法的一个特例。

对于一个BFS算法，从当前节点扩展出来的每个节点（假设没有被訪问过的话）都要放进队列进行进一步扩展。也就是说BFS的预计函数h永远等于0。没有一点启示式的信息。能够觉得BFS是“最烂的”A*算法。

选取最小估价：假设学过数据结构的话。应该能够知道，对于每次都要选取最小估价的节点。应该用到最小优先级队列（也叫最小二叉堆）。在C++的STL里有现成的数据结构priority_{queue。能够直接使用。当然不要忘了重载自己定义节点的比較操作符。}

Memory	Time
154K	47MS

只是上面优化的双向BFS（16MS）

#include<iostream>

#include<queue>

#include<stdlib.h>

using namespace std;

char ss[3];

char ee[3];

typedef struct node

{

    int x;

    int y;

    int steps;

    int g;

    int h;

    int f;

    friend bool operator < (const node & a,const node &b);

}node;

inline bool operator < (const node & a,const node &b)

{

    return a.f>b.f;

}

int d[8][2]={{-2,1},{-2,-1},{-1,-2},{-1,2},{2,-1},{2,1},{1,-2},{1,2}};

int visited[8][8];

node s;

node e;

int in(node n)

{

    if(n.x<0||n.y<0||n.x>7||n.y>7)

        return 0;

    return 1;

}

int Heuristic(const node &a){

    return (abs(a.x-e.x)+abs(a.y-e.y))*10;

}//曼哈顿（manhattan）估价函数

priority_queue<node> q;                        //最小优先级队列(开启列表) 这里有点优化策略，由于我发现假设把q

                                               //放在Astar函数里头的话。代码跑起来是157MS，放在外面的话是47MS。有显著的差别

int Astar()

{

    while(!q.empty())q.pop();

    memset(visited,0,sizeof(visited));

    q.push(s);

    while(!q.empty())

    {

        node front=q.top();

        node t;

        q.pop();

        visited[front.x][front.y]=1;

        if(front.x==e.x && front.y==e.y)

            return front.steps;

        for(int i=0;i<8;i++){

            t.x=front.x+d[i][0];

            t.y=front.y+d[i][1];

            if(in(t) && visited[t.x][t.y]==0){

                t.g=23+front.g;

                t.h=Heuristic(t);

                t.f=t.g+t.h;

                t.steps=front.steps+1;

                q.push(t);

            }

        }

    }

}

int main(int argc, char *argv[])

{

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    while(scanf("%s %s",ss,ee)==2)

    {

        s.x=ss[0]-'a';

        s.y=ss[1]-'1';

        e.x=ee[0]-'a';

        e.y=ee[1]-'1';

        s.steps=0;

        s.g=0;

        s.h=Heuristic(s);

        s.f=s.g+s.h;

        if(s.x==e.x&&s.y==e.y)

            printf("To get from %s to %s takes 0 knight moves.\n",ss,ee);

        else

            printf("To get from %s to %s takes %d knight moves.\n",ss,ee,Astar());

    }

    return 0;

}

本篇文章摘录了最主要的BFS和双向BFS的实现以及A*的基本原理。因为原理不是十分难懂又有图解过程，所以能够一次性掌握原理（尽管文字介绍相当简要，只是好像也没有什么要说的）。剩下的动手的问题。

假设你有不论什么建议或者批评和补充，请留言指出，不胜感激，很多其它參考请移步互联网。

Author: kirchhoff

Created: 2014-11-14 Fri 17:43

Emacs 24.4.1 (Org mode 8.2.10)

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