9-10 November

cout 和 printf 在 C++ 中的实现：四舍六入五随缘。比如 printf("%.0lf\n", x=1.5) => 1。

标准做法：printf("%d\n", (int)(x+0.5))。

矩阵乘法

由 \(a_n=2a_{n-3}+a_{n-1}\) 得矩阵转移方程：

\[\begin{bmatrix} a_n & a_{n-1} & a_{n-2} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} \end{bmatrix}
\]

这里采用 [] 表示 \(1\times 3\) 矩阵，() 表示 \(3\times 3\) 矩阵。

ll p[5][5], b[5][5], d[5][5], t[5][5];

memset(p, 0, sizeof p), memset(b, 0, sizeof b), memset(d, 0, sizeof d);
for (int i=1; i<=3; i++) b[i][i]=1ll;  // unit matrix
p[1][1]=1ll, p[1][2]=1ll, p[1][3]=0ll;
p[2][1]=0ll, p[2][2]=0ll, p[2][3]=1ll;
p[3][1]=2ll, p[3][2]=0ll, p[3][3]=0ll; // transition matrix
d[1][1]=6ll, d[1][2]=1ll, d[1][3]=3ll; // initial matrix, a_3, a_2, a_1

// n<=3 特判
if (n<=3) {printf("%d\n", d[1][4-n]); return 0; }

// 矩阵快速幂
int K=n-3;
while (K>0){
	if (K&1) {
		// (b) *= (p)
		memset(t, 0, sizeof t);
		for (int i=1; i<=3; i++)
			for (int j=1; j<=3; j++)
				for (int k=1; k<=3; k++)
					t[i][j]=(t[i][j]+b[i][k]*p[k][j]) % mod;
		memcpy(b, t, sizeof b);
	}

	// (p) = (p)^2
	memset(t, 0, sizeof t);
	for (int i=1; i<=3; i++)
		for (int j=1; j<=3; j++)
			for (int k=1; k<=3; k++)
				t[i][j]=(t[i][j]+p[i][k]*p[k][j]) % mod;
	memcpy(p, t, sizeof p);

	K>>=1;
}

// [t] = [d] * (b)
memset(t, 0, sizeof t);
for (int i=1; i<=3; i++)
	for (int j=1; j<=3; j++)
		t[1][i]=(t[1][i]+d[1][j]*b[j][i]) % mod;
printf("%lld\n", t[1][1]);