最小二乘法公式推导及Python实现

机器学习使用线性回归方法建模时，求损失函数最优解需要用到最小二乘法。相信很多朋友跟我一样，想先知道公式是什么，然后再研究它是怎么来的。所以不多说，先上公式。

对于线性回归方程\(f(x) = ax + b\)，由最小二乘法得：

$$a = \frac{\sum (x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sum (x_{i}-\overline{x})^{2}}$$

$$b = \overline{y}-a\overline{x}$$

式中，\((x_{i}, y_{i})\)为实验所得的一组数据的真实值，\(\overline{x}为x_{i}\)的平均数，\(\overline{y}为y_{i}\)的平均数。

接下来推导一下公式是怎么得来的：

设损失函数：

\[M = \sum[y_{i}-f(x_{i})]^{2}
\]

由于是线性回归，式中f(x)是线性函数，令\(f(x) = ax + b\)

现在损失函数M表示为：

\[M = \sum[y_{i}-(ax_{i}+b)]^{2}\; (1)
\]

最小二乘法是求f(x)的参数a，b，使得损失函数M取得最小值。

即求M = M(a, b)在哪些点取得最小值。由多元函数极值求法，上述问题可以分别对a，b求偏导数，通过解方程组

$$\left{\begin{matrix}M_{a}(a, b) = 0

\

M_{b}(a, b) = 0

\end{matrix}\right.$$

来解决，即令

$$\left{\begin{matrix}\frac{\partial M}{\partial a} = 0; (2)

\

\

\frac{\partial M}{\partial b} = -2\sum [y_{i}-(ax_{i}+b)] = 0; (3)

\end{matrix}\right.$$

由平均数性质，\(\sum x_{i} = n\overline{x}\)，\(\sum y_{i} = n\overline{y}\)，其中n为实验数据组数。将其带入(3)式，可得：

\[b = \overline{y} - a\overline{x}\; (4)
\]

此式表明，线性回归函数必过点\((\overline{x}, \overline{y})\)

将(4)式带入(1)式，得：

\[M = \sum[y_{i}-(ax_{i}+\overline{y} - a\overline{x})]^{2} = \sum[(y_{i}-\overline{y})-a(x_{i} - \overline{x})]^{2}\; (5)
\]

现对(5)式求偏导数，应用多元复合函数求导法则，推导(2)式：

\[\frac{\partial M}{\partial a} = -2\sum[(y_{i}-\overline{y})-a(x_{i} - \overline{x})](x_{i}-\overline{x}) = 0\; (6)
\]

整理(6)式：

\[\sum(y_{i}-\overline{y})(x_{i}-\overline{x})-a\sum (x_{i} - \overline{x})^{2} = 0\; (7)
\]

最后可得：

\[a = \frac{\sum(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sum (x_{i} - \overline{x})^{2}}\; (8)
\]

最后附上python代码实现最小二乘法：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([1., 2., 3., 4., 5.])
y = np.array([1., 3., 2., 3., 5.])

x_mean = np.mean(x)
y_mean = np.mean(y)

num = 0.0
d = 0.0
for x_i, y_i in zip(x, y):
    num += (x_i - x_mean) * (y_i - y_mean)
    d += (x_i - x_mean) ** 2

a = num/d
b = y_mean - a * x_mean

print('a is %f' % a)
print('b is %f' % b)

y_hat = a * x + b

plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, y_hat, color='g')
plt.axis([0, 6, 0, 6])
plt.show()