【UOJ#129】 【NOI2015】寿司晚宴

题目描述

为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上，主办方为大家提供了 n−1 种不同的寿司，编号 1,2,3,…,n−1，其中第 i 种寿司的美味度为 i+1 （即寿司的美味度为从 2 到 n）。

现在小 G 和小 W 希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小 G 品尝的寿司种类中存在一种美味度为 x 的寿司，小 W 品尝的寿司中存在一种美味度为 y 的寿司，而 x 与 y 不互质。

现在小 G 和小 W 希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数 p 取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

输入格式

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,p，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种寿司，最终和谐的方案数要对 p 取模。

输出格式

输出一行包含 1 个整数，表示所求的方案模 p 的结果。

题解

注意到所有和谐的方案，两人的质数集合一定是不相交的。

对于所有大于根号的质数，不存在一个数同时包含两个这样的数。打个比方，假如n是100，那么我们在考虑17的时候，就不需要考虑11,13有没有取。而小于根号的质数就不具备有这个性质。所以对于大于根号的质数是一个分层的关系，层与层之间是无后效性的，所以我们可以分层来DP。

计f[i][A][B]表示在第i层里一个人集合为A，另一个人集合为B的方案。然后枚举子集、前缀和转移一下就好了。

代码

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>

 #define R register
 #define maxn 510
 int pr[maxn], prcnt, mp[maxn], r[maxn];
 int f[maxn][][][], g[maxn][][], tf[][][];
 bool vis[maxn];
 inline bool cmp(R int a, R int b)
 {
     return mp[a] < mp[b];
 }
 int main()
 {
     R int n, p; scanf("%d%d", &n, &p);
     for (R int i = ; i <= n; ++i)
     {
         r[i] = i;
         if (!vis[i]) pr[++prcnt] = mp[i] = i;
         for (R int j = ; j <= prcnt && i * pr[j] <= n; ++j)
         {
             vis[i * pr[j]] = ;
             mp[i * pr[j]] = mp[i];
             if (i % pr[j] == ) break;
         }
     }
     std::sort(r + , r + n + , cmp);
     R int tot = ;
     g[][][] =  % p;
     for (R int i = ; i <= n; ++i)
     {
         R int x = r[i], tS = ;
         if (mp[x] <  || mp[r[i]] != mp[r[i - ]]) ++tot;
 //        printf("%d %d %d %d\n", i, r[i], mp[r[i]], tot);
         for (R int j = ; j <= prcnt && pr[j] < ; ++j)
             if (x % pr[j] == ) tS |=  << (j - );

         memcpy(tf, f[tot], sizeof (tf));
         for (R int A = ; A < ; ++A)
         {
             R int mB = ~A & ;
             for (R int B = mB; B; B = (B - ) & mB)
                 if (!(B & tS))
                     (f[tot][A | tS][B][] += (g[tot - ][A][B] + tf[A][B][]) % p) %= p,
                     (f[tot][B][A | tS][] += (g[tot - ][B][A] + tf[B][A][]) % p) %= p;
                     (f[tot][A | tS][][] += (g[tot - ][A][] + tf[A][][]) % p) %= p;
                     (f[tot][][A | tS][] += (g[tot - ][][A] + tf[][A][]) % p) %= p;
         }

         for (R int A = ; A < ; ++A)
         {
             R int mB = ~A & ;
             for (R int B = mB; B; B = (B - ) & mB)
                 g[tot][A][B] = (g[tot - ][A][B] + (f[tot][A][B][] + f[tot][A][B][]) % p) % p;
                 g[tot][A][] = (g[tot - ][A][] + (f[tot][A][][] + f[tot][A][][]) % p) % p;
         }
     }
     R int ans = ;
     for (R int A = ; A < ; ++A)
     {
         R int mB = ~A & ;
         for (R int B = mB; B; B = (B - ) & mB)
             (ans += g[tot][A][B]) %= p;
             (ans += g[tot][A][]) %= p;
     }
     printf("%d\n", ans);
     return ;
 }