「CQOI2014」数三角形

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问题分析

可以先任意选\(3\)个数，然后减去三点共线的部分。

三点共线又分\(2\)种情况：

• 横的或者竖的。这一部分方案数是\(n\times{m\choose 3}+m\times {n\choose3}\)。
• 斜的。不妨设线段一个端点在\((1,1)\)，另一个端点在\((i,j)\)，\(i,j>1\)。那么线段上的点总共有\(\gcd(i,j)+1\)个点。所以一条这样的线段的贡献是\(\gcd(i,j)-1\)。然后这样的线段共有\((n-i+1)\times(m-j+1)\)条，然后由于对称还要乘以二。

参考程序

#include <cstdio>
long long C3( long long n ) {
	return n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) / 6;
}
long long gcd( long long a, long long b ) {
	long long m = a % b;
	while( m ) {
		a = b; b = m; m = a % b;
	}
	return b;
}
int main() {
	long long n, m;
	scanf( "%lld%lld", &n, &m ); ++n, ++m;
	long long Ans = C3( n * m );
	Ans -= n * C3( m ) + m * C3( n );
	for( long long i = 2; i <= n; ++i )
		for( long long j = 2; j <= m; ++j ) {
			long long t = gcd( i - 1, j - 1 ) + 1;
			if( t >= 3 )
				Ans -= ( n - i + 1 ) * ( m - j + 1 ) * ( t - 2 ) * 2;
		}
	printf( "%lld\n", Ans );
	return 0;
}