算法之SPFA的前置：Bellman-Ford算法

SPFA

我们都知道一个叫SPFA的算法，它是用来计算单源最短路径的，但是，众所周知它不是很稳定，容易退化。

SPFA是基于什么被提出的？

基于一个叫做Bellman-Ford的算法。

Bellman-Ford

bellman算法实际上比dijkstra有更高的普适性，因为它可以处理有负边权图。但无法处理存在负权回路情况。

算法的时间复杂度为\(O(VE)\)，V是顶点数，E是边数。

以下是bellman-ford的伪代码：

#define MAXN 最大点数
#define MAXM 最大边数
int dis[MAXN],w[MAXM],s;//dis 表示从出发点s到i点的当前最短路径长度，w表示边权值，s表示出发点。
struct lines{//边集结构体
    int u,v;//出发点，到达点
}l[MAXM];
/*
初始化，将dis[s]设为0，dis[其他]设为0x3f3f3f3f，输入边集。
*/
for(int i=1;i<=MAXN;i++){
    for(int j=1;j<=MAXM;j++){
        if(dis[l[j].u]+w[j]<dis[l[j].v]){
            dis[l[j].v]=dis[l[j].u]+w[j];//核心代码
        }
    }
}
//算法结束，dis[i]就是s点到i点的最短路，若dis[i]==0x3f3f3f3f则从s点无法到达该点。

ford算法很好理解，容易看出是一个一维Dp（实际上还有二维dp写法，蒟蒻不会……）。

以下是几个常见不理解的问题：

为什么distance初始化除起点外设成正无穷？

这个……肯定是为了接下来的更新啊！

对于无向图和有向图，这个算法需要变化吗？

说到点上了！对于有向图一定要记住，伪代码中的u，一定是边的入节点！相应的v，一定是出节点！

如果是无向图，我们需要做的就是反过来再执行一次。

也就是原来是这个：

if(dis[l[j].u]+w[j]<dis[l[j].v])dis[l[j].v]=dis[l[j].u]+w[j];

变成了这个：

if(dis[l[j].u]+w[j]<dis[l[j].v])dis[l[j].v]=dis[l[j].u]+w[j];
if(dis[l[j].v]+w[j]<dis[l[j].u])dis[l[j].u]=dis[l[j].v]+w[j];

到底什么是所谓的松弛操作？

松弛操作，很简单，就是这句代码：

if(dis[l[j].u]+w[j]<dis[l[j].v])dis[l[j].v]=dis[l[j].u]+w[j];

惊不惊喜？

原来听了这么久松弛，还以为是啥奇怪的东西，没想到已经用上了！

为什么外层循环要用n次？

这个嘛……实际上仔细想想可以发现，运用蓝白点的思想，一开始起点S是白点，其他都是蓝点。然后由于如果还有蓝点，那么一定还有边连接着蓝点和白点。每次外层循环一定可以遍历到一些这样的边，也一定至少有一个蓝点变成白点。

这样的话，我们执行n遍外层循环，一定能保证所有点都求出了最终结果。

为什么说它不适用于负权回路？

负权回路是什么？

负权回路是指，图上一个回路，各边权值之和是负数。

相信看到这里你已经发现，如果图上存在负权回路，那么至少有两点间的最短路会是无限小！

因为可以绕这个回路走无限圈，最短路也跟着无限小……

所以：存在负权回路的图无法求出最短路。

注意是无法！目前已知算法都无法！

bellman-ford算法可以在算法结束时给出错误提示，以判断这张图是否存在负权回路：

方法：在核心代码全部结束后，执行以下代码，若仍存在某条边，使得dis[l[j].u]+w[j]<dis[l[j].v]

那么我们可以判定该图存在负权回路：

for(int i=1;i<=MAXM;i++){
    if(dis[l[j].u]+w[j]<dis[l[j].v])//错误提示。
}

挣扎着优化 ∑( 口 ||

对bellman算法，我们还可以有一个优化，我们看到，bellman算法有的时候会在外层循环没结束的时候就完成了所有松弛操作！

所以我们可以加一个计数：记下每次大循环中松弛的次数，当某次循环不进行松弛时，我们认定算法结束，直接跳出大循环。

#define MAXN 最大点数
#define MAXM 最大边数
int dis[MAXN],w[MAXM],s;
struct lines{
    int u,v;
}l[MAXM];
int tot;
for(int i=1;i<=MAXN;i++){
    tot=0;//变动
    for(int j=1;j<=MAXM;j++){
        if(dis[l[j].u]+w[j]<dis[l[j].v]){
            tot++;//变动
            dis[l[j].v]=dis[l[j].u]+w[j];
        }
    }
    if(!tot)break;//变动
}

而这个小小优化，有什么作用呢？

70pts -> 100pts

AC记录

一个小操作，可以顺利通过这道题（虽然是弱化版）

劣势

bellman-ford算法的缺点其实刚刚已经体现出来了！

就是，外层循环有大量重复计算！

蒟蒻过几天会写一个SPFA的讲解，SPFA其实就是ford的队列优化。

完结撒花