CF850F 题解

题意

传送门

有一袋 \(n\) 个颜色球，第 \(i\) 个颜色的球有 \(a_i\) 个。

当袋子里至少有两个不同颜色的球时，执行以下步骤:

1. 一个接一个的按照顺序随机取出两个的球，这些球的颜色可能是一样的。

2. 把第二个球涂成第一个球的颜色，然后把两个球放回袋子里。

所有这些动作只需要一秒钟。

输出无法操作时候的期望时间，对 \(10^9+7\) 取模。

\(n\le 2500,1\le a_i \le 10^5\)

题解

分别考虑每种颜色。那么设 \(f_i\) 表示当前颜色的球有 \(i\) 个，到没有其他颜色的球时的期望秒数。

设 \(s=\sum\limits_{i=1}^n a_i\)，则 \(f_0=+\infty\)，\(f_s=0\)，\(\forall i \in (0,s),f_i=(f_{i-1}+f_{i+1})p_i+f_i(1-2p_i)+1\)。其中 \(p_i\) 为 \(\frac{i(s-i)}{s(s-1)}\)。

但因为有无穷，这是无法求的。我们需要避开 \(0\)。因为一旦进入 \(0\) 就出不来，所以所有从 \(i\) 到 \(s\) 的合法路径都是不经过 \(0\) 的。那么我们设 \(g_i\) 表示从 \(i\) 到 \(s\) 不经过 \(0\) 的概率，易得为 \(\frac{i}{s}\)。结合其实际意义，我们可以修改上式：\(f_0=f_s=0\)，\(\forall i\in(0,s),f_i=(f_{i-1}+f_{i+1})p_i+f_i(1-2p_i)+\frac{i}{s}\)。注意，此时 \(f_0\) 没有实际意义，赋 \(0\) 仅为了运算方便。

此时若用高斯消元，复杂度为 \(O(n^3V^3)\)，无法接受。将其化为更简单的形式：\(f_{i+1}-f_i=f_i-f_{i-1}-\frac{s-1}{s-i}\)。因为 \(f_0=0\)，我们只需求出 \(f_1\) 即可。再结合 \(f_s=0\)，有 \(f_1+\sum\limits_{i=1}^{s-1}f_{i+1}-f_i=sf_1-\sum\limits_{i=1}^{s-1}\frac{s-1}{s-i}s-i=sf_1-(s-1)^2=0\)。则 \(f_1=\frac{(s-1)^2}{s}\)。递推即可。复杂度 \(O(V\log P)\)，瓶颈在求逆元。

此题关键在由 \(g\) 得出 \(f\) 的方程。非常巧妙地结合其实际意义。