bzoj 2734 集合选数

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Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\)的所有满足以 下条件的子集：若 \(x\) 在该子集中，则 \(2x\) 和 \(3x\) 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 \(n\leq 100000\)，如何求出\(\{1, 2,..., n\}\) 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 \(1000000001\) 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

Input

只有一行，其中有一个正整数 \(n\)，\(30\%\)的数据满足 \(n\leq20\)。

Output

仅包含一个正整数，表示\(\{1, 2,..., n\}\)有多少个满足上述约束条件 的子集。

Sample Input

4

Sample Output

8

【样例解释】

有\(8\) 个集合满足要求，分别是\(\emptyset\)，\(\{1\}\)，\(\{1，4\}\)，\(\{2\}\)，\(\{2，3\}\)，\(\{3\}\)，\(\{3，4\}\)，\(\{4\}\).

Solution

• 神仙构造题.
• 考虑构造这样的一个矩阵

\[\begin{pmatrix}
1 & 3 & 9 & 27 & ...\\
2 & 6 & 18 & 54 & ...\\
4 & 12 & 36 & 108 & ...\\
8 & 24 & 72 & 216 & ...\\
... & ... & ... & ... & ...\\
\end{pmatrix} \quad\]

• 其中一个数是它上边那个数的\(2\)倍,左边那个数的\(3\)倍.
• 原问题转化为从矩阵中选出一些互不相邻的数.
• 那么这个矩阵中的数是呈指数级增长的,规模不会超过\(20\).
• 使用经典状压\(dp\)处理,逐行考虑.
• 另,对于每个尚未出现过的数,需以它为左上角建一个矩阵,这样各个构造出的矩阵互不相交,利用乘法原理统计答案.

左上角的数增大时,矩阵没有填入数字的部分也不断增大.手动\(memset\).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		{
			fh=-1;
			jp=getchar();
		}
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		{
			out=out*10+jp-'0';
			jp=getchar();
		}
	return out*fh;
}
const int P=1e9+1;
inline int add(int a,int b)
{
	return (a + b) % P;
}
inline int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
const int MAXN=1e5+10;
int n;
int vis[MAXN];
int Martix[20][20];
int limit[20];//第i行的边界
int ans=1;
int r,c;
int judge(int st)
{
	int ls=0;
	while(st)
		{
			int p=st&1;
			if(p && ls)
				return 0;
			ls=p;
			st>>=1;
		}
	return 1;
}
vector<int> G;
void Build_Martix(int x)
{
	memset(Martix,-1,sizeof Martix);
	r=0,c=0;
	int p;
	for(int i=1;i<20;++i)
		{
			p=i==1?x:Martix[i-1][1]*2;
			if(p>n)
				{
					r=i-1;
					break;
				}
			Martix[i][1]=p;
			vis[p]=1;
			for(int j=2;j<20;++j)
				{
					p=Martix[i][j-1]*3;
					if(p>n)
						{
							c=max(c,j-1);
							limit[i]=j-1;
							break;
						}
					Martix[i][j]=p;
					vis[p]=1;
				}
		}
	G.clear();
	int S=1<<c;
	for(int i=0;i<S;++i)
		if(judge(i))
			G.push_back(i);
}
int f[20][1<<20];
inline int check(int x,int y)
{
	return !(x&y);
}
int dfs(int k,int st)//填好了前k行,且第k行状态为st的方案数.
{
	if(k==1)
		return 1;
	if(f[k][st]!=-1)
		return f[k][st];
	int &res=f[k][st];
	res=0;
	int S=(1<<limit[k-1])-1;
	for(int v=0;v<G.size();++v)
		{
			int i=G[v];
			if(i>S)
				break;
			if(check(i,st))
				res=add(res,dfs(k-1,i));
		}
	return res;
}
void solve(int x)//以x为左上角构造矩阵的方案数
{
	Build_Martix(x);
	for(int i=1;i<=r+1;++i)
		{
			int S=1<<limit[i];
			for(int j=0;j<S;++j)
				f[i][j]=-1;
		}
	//memset(f,-1,sizeof f);
	ans=mul(ans,dfs(r+1,0));
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(!vis[i])
			solve(i);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}