LUOGU P2294 [HNOI2005]狡猾的商人(差分约束）

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解题思路

　　差分约束。先总结一下差分约束，差分约束就是解决一堆不等式混在一起，左边是差的形式，右边是常量，然后要求差最小值最大值或判无解的算法。首先对于下面几个不等式来说：

\[X_0-X_1<=5\\
X_2-X_3>=2\\
X_1-X_3<=1\\
X_0-X_2<=3
\]

　　现在我们要求\(X_1-X_3\)的最大值，我们观察第一个式子（其实哪个都行），第一个式子可以变\(X_0<=X_1+5\)，这个形式不正是最长路的松弛操作吗。所以我们可以化作图论的模型，对于\(X_2-X_3>=2\)这样的式子，我们只需要在两边同时乘一个\(-1\)，也就变成了\(X_2-X_3<=-2\)了。这样的话我们建图，\(X_1\)到\(X_3\)的最长路即为答案。最小值也同理，我们把所有式子化成\(>=\)的形式就行了。

　　然后有几个建图的技巧。对于\(X_a-X_b=c\)的形式，我们可以把它拆成两个式子：$ X_a-X_b<=c $ 和 $X_a-X_b>=c $，对于 $ X_a-X_b<c $，我们可以把它变成 $ X_a-X_b<=c-1$的形式。然后注意有的题让判无解，当求最短路的时候出现了负环时就一定无解，因为会不断松弛。因为有负边的存在，所以用 \(spfa\)。

　　说一下这道题，这道题比较巧妙。首先给的一堆\([l,r]\)的的收入，我们可以看做一个前缀和的形式。即\(sum[r]-sum[l-1]=k\)，\(k\)是一个常数，这就变成上面差分约束的形式了，然后我们判断是否是假的，只需要建好图用\(spfa\)判负环。

代码

\(Atom\)写的，缩进有点奇怪。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>

using namespace std;
const int MAXN = 105;
const int MAXM = 1005;

inline int rd(){
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while(!isdigit(ch)) {f=ch=='-'?0:1;ch=getchar();}
  while(isdigit(ch))  {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return f?x:-x;
}

int T,n,m,head[MAXN],cnt,num[MAXN],dis[MAXN];
int to[MAXM<<1],nxt[MAXM<<1],val[MAXM<<1];
bool vis[MAXN],flag;
queue<int> Q;

inline void add(int bg,int ed,int w){
  to[++cnt]=ed,nxt[cnt]=head[bg],head[bg]=cnt,val[cnt]=w;
}

bool spfa(int S){
  memset(vis,false,sizeof(vis));
  memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
  memset(num,0,sizeof(num));
  Q.push(S);dis[S]=0;vis[S]=1;num[S]=1;
  int x,u;
  while(!Q.empty()){
    x=Q.front();Q.pop();
    for(register int i=head[x];i;i=nxt[i]){
      u=to[i];
      if(dis[x]+val[i]<dis[u]){
        dis[u]=dis[x]+val[i];
        num[u]=max(num[u],num[x]+1);
        if(num[u]>n) return false;
        if(!vis[u]) {vis[u]=1;Q.push(u);}
      }
    }
    vis[x]=false;
  }
  return true;
}

inline void init(){
  memset(head,0,sizeof(head));
  while(Q.size()) Q.pop();
  cnt=0;flag=false;
}

int main(){
  T=rd();
  while(T--){
    init();
    n=rd();m=rd();int x,y,z;
    for(int i=1;i<=m;i++){
      x=rd(),y=rd(),z=rd();
      add(y,x-1,z),add(x-1,y,-z);
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
    	if(!spfa(i)) {flag=true;break;}
    puts(flag?"false":"true");
  }
  return 0;
}