【t092】迷之阶梯

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【问题描述】

在经过地球防卫小队的数学家连续多日的工作之后，外星人发的密码终于得以破解。它告诉我们在地球某一处的古老遗迹中，存在

有对抗这次灾难的秘密道具。防卫小队立刻派出了一个直升机小分队，迅速感到了这处遗迹。要进入遗迹，需要通过一段迷之

阶梯。登上阶梯必须要按照它要求方法，否则就无法登上阶梯。它要求的方法有以下三个限制：

1. 如果下一步阶梯的高度只比当前阶梯高1，则可以直接登上。

2. 除了第一步阶梯外，都可以从当前阶梯退到前一步阶梯。

3. 当你连续退下k后，你可以一次跳上不超过当前阶梯高度2^k的阶梯。比如说你现在位于第j步阶梯，并且是从第j + k步阶梯退下

来的。那么你可以跳到高度不超过当前阶梯高度 + 2^k的任何一步阶梯。跳跃这一次只算一次移动。

开始时我们在第1步阶梯。由于时间紧迫，我们需要用最少的移动次数登上迷之阶梯。请你计算出最少的移动步数。

[数据范围]

对于50%的数据：1 <= N <= 20

对于100%的数据：1 <= N <= 200

每步阶梯高度不超过2^31-1

【输入格式】

第1行：一个整数N，表示阶梯步数

第2行：N个整数，依次为每层阶梯的高度，保证递增

【输出格式】

第1行：一个整数，如果能登上阶梯，输出最小步数，否则输出-1

Sample Input

5

0 1 2 3 6

Sample Output

7

【题目链接】:http://noi.qz5z.com/viewtask.asp?id=t092

【题解】



代码1

动态规划

设f[i]表示到第i级阶梯所需要的最小步骤数;

f[i] = f[i-1]+1;(h[i]==h[i-1]+1);

f[i] = min(f[i],f[j+k]+k+1);

(这里k = log2(h[i]-h[j]),且j+k<=i-1)

这里第二个方程相当于从第j+k个位置跳到了第j个位置,然后再跳到i位置;

这里考虑的也是最后的结果吧；

就是第i级阶梯是怎么样走过来的;

从结果去想状态的转移;

代码2是记忆化搜索

需要调到2s才能出解



【代码1】动态规划

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define rei(x) scanf("%d",&x)

const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);
const int MAXN = 200+10;

int n;
int a[MAXN],f[MAXN],top[MAXN][32];
LL two[32];

int main()
{
    //freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
    two[0] = 1;
    rep1(i,1,31)
        two[i] = two[i-1]*2;
    rei(n);
    rep1(i,1,n) rei(a[i]);
    memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof f);
    f[1] = 0;
    rep1(now,2,n)
    {
        if (a[now]==a[now-1]+1)
            f[now] = f[now-1]+1;
        rep1(i,1,now-1)
        {
            int d = a[now]-a[i],k;
            for (k = 0;k <= 31;k++)
                if (two[k]>=d)
                    break;
            if (i+k<=now-1)
                f[now] = min(f[now],f[i+k]+k+1);
        }
    }
    if (f[n]<0x3f3f3f3f)
        printf("%d\n",f[n]);
    else
        puts("-1");
    return 0;
}

【代码2】记忆化搜索

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rei(x) scanf("%d",&x)
#define rel(x) scanf("%I64d",&x)

typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pll;

const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);
const int MAXN = 200+10;

int n;
int a[MAXN],f[MAXN][32],top[MAXN][32];
LL two[32];

void dfs(int now,int k,int step)
{
    if (f[now][k]<step)
        return;
    f[now][k] = step;
    if (now==n) return;
    int ma = top[now][k];
    rep2(i,ma,now+1)
        dfs(i,0,step+1);
    if (now>1)
        dfs(now-1,k+1,step+1);
}

int main()
{
    //freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
    two[0] = 1;
    rep1(i,1,31)
        two[i] = two[i-1]*2;
    rei(n);
    rep1(i,1,n) rei(a[i]);
    rep1(i,1,n)
    {
        if (a[i+1]==a[i]+1)
            top[i][0] = i+1;
        else
            top[i][0] = i;
        rep1(j,1,31)
        {
            LL ma = a[i]+two[j];
            int k;
            for (k = top[i][j-1];k <= n;k++)
                if (ma<a[k])
                    break;
            top[i][j] = k-1;
        }
    }
    memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof f);
    dfs(1,0,0);
    if (f[n][0]<0x3f3f3f3f)
        printf("%d\n",f[n][0]);
    else
        puts("-1");
    return 0;
}