CodeForces 1152F2 Neko Rules the Catniverse (Large Version)

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/1152/F2

题目大意

　　见http://codeforces.com/problemset/problem/1152/F1，此题 n 最大能到 10⁹。

分析

　　在 F1 的基础上，我们发现 dp[i + 1] 数组的每个值均可以通过 dp[i] 数组的有限几个数求得，而 dp[i + 2] 数组的每个值也均可以通过 dp[i + 1] 数组相同位置的有限几个数求得，于是我们可以考虑用矩阵快速幂来求 dp[n]。

　　由于 dp 数组的第二维和第三维数值并不是特别大，我们可以把 dp 数组的后两个维度压制成一个维度，于是 dp[i][j][sta] 就变成 dp[i][cur]，其中 cur = j * (1 << m) + sta。

　　假设 dp[i][cur] 对某一个 dp[i + 1][newcur] 有贡献，根据上一题的帖子，有两种可能：

1. 不访问：dp[i + 1][newcur] += dp[i][cur]。
2. 访问：dp[i + 1][newcur] += dp[i][cur] * (1 + 后m个星球被访问过的星球个数)。

　　定义 base 矩阵是我们所要构造的矩阵，设 base[cur][newcur] 代表某一个状态 cur 对一个新状态 newcur 所做贡献的系数，于是有：

1. 不访问：base[cur][newcur] = 1。
2. 访问：base[cur][newcur] =  (1 + 后m个星球被访问过的星球个数)。
3. 其他(cur 压根不可能变成 newcur)：base[cur][newcur] = 0。

　　于是 $dp[i + 1][newcur] = \sum_{cur = 0}^{maxCur} dp[i][cur] * base[cur][newcur]$。

　　根据这个式子可以构造 dp 矩阵如下（以 k = 1， m = 1 为例）：

$$
dp(i) = \begin{bmatrix}
dp[i][0] & dp[i][1] & dp[i][2] & dp[i][3]
\end{bmatrix} 
$$

　　相应 base 系数矩阵如下：

$$
base = \begin{bmatrix}
base[0][0] & base[0][1] & base[0][2] & base[0][3] \\
base[1][0] & base[1][1] & base[1][2] & base[1][3] \\
base[2][0] & base[2][1] & base[2][2] & base[2][3] \\
base[3][0] & base[3][1] & base[3][2] & base[3][3]
\end{bmatrix}
$$

　　base 矩阵填上数后为：

$$
base = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

　　于是有：

$$
\begin{align*}
dp(i) &= dp(i - 1) * base \\
dp(n) &= dp(0) * base^{n}
\end{align*}
$$

　　不知道关于矩阵怎么构造的说的明不明白，有不足的地方还请指出。

　　PS：如果不压制维度，那么 base 矩阵就要弄四维的了，四维矩阵乘法反正我是不会。

代码如下

　　时间复杂度：$O(\log n*(k*2^m)^3)$

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)

 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl

 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))

 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
 #define INS(x) inserter(x,x.begin())

 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

 #define MP make_pair
 #define PB push_back
 #define ft first
 #define sd second

 template<typename T1, typename T2>
 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
     in >> p.first >> p.second;
     return in;
 }

 template<typename T>
 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
     for (auto &x: v)
         in >> x;
     return in;
 }

 template<typename T1, typename T2>
 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
     return out;
 }

 inline int gc(){
     static const int BUF = 1e7;
     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;

     if(bg == ed) fread(bg = buf, , BUF, stdin);
     return *bg++;
 } 

 inline int ri(){
     int x = , f = , c = gc();
     for(; c<||c>; f = c=='-'?-:f, c=gc());
     for(; c>&&c<; x = x* + c - , c=gc());
     return x*f;
 }

 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long uLL;
 typedef pair< double, double > PDD;
 typedef pair< int, int > PII;
 typedef pair< string, int > PSI;
 typedef set< int > SI;
 typedef vector< int > VI;
 typedef map< int, int > MII;
 typedef pair< LL, LL > PLL;
 typedef vector< LL > VL;
 typedef vector< VL > VVL;
 const double EPS = 1e-;
 const LL inf = 0x7fffffff;
 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
 const LL mod = 1e9 + ;
 const int maxN = 1e5 + ;
 const LL ONE = ;
 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
 const LL oddBits = 0x5555555555555555;

 void add_mod(LL &a, LL b) {
     a = (a + b) % mod;
 }

 struct Matrix{
     int row, col;
     LL MOD;
     VVL mat;

     Matrix(int r, int c, LL p = mod) : row(r), col(c), MOD(p) {
         mat.assign(r, VL(c, ));
     }
     Matrix(const Matrix &x, LL p = mod) : MOD(p){
         mat = x.mat;
         row = x.row;
         col = x.col;
     }
     Matrix(const VVL &A, LL p = mod) : MOD(p){
         mat = A;
         row = A.size();
         col = A[].size();
     }

     // x * 单位阵
     inline void E(int x = ) {
         assert(row == col);
         Rep(i, row) mat[i][i] = x;
     }

     inline VL& operator[] (int x) {
         assert(x >=  && x < row);
         return mat[x];
     }

     inline Matrix operator= (const VVL &x) {
         row = x.size();
         col = x[].size();
         mat = x;
         return *this;
     }

     inline Matrix operator+ (const Matrix &x) {
         assert(row == x.row && col == x.col);
         Matrix ret(row, col);
         Rep(i, row) {
             Rep(j, col) {
                 ret.mat[i][j] = mat[i][j] + x.mat[i][j];
                 ret.mat[i][j] %= MOD;
             }
         }
         return ret;
     }

     inline Matrix operator* (const Matrix &x) {
         assert(col == x.row);
         Matrix ret(row, x.col);
         Rep(k, x.col) {
             Rep(i, row) {
                 if(mat[i][k] == ) continue;
                 Rep(j, x.col) {
                     ret.mat[i][j] += mat[i][k] * x.mat[k][j];
                     ret.mat[i][j] %= MOD;
                 }
             }
         }
         return ret;
     }

     inline Matrix operator*= (const Matrix &x) { return *this = *this * x; }
     inline Matrix operator+= (const Matrix &x) { return *this = *this + x; }

     inline void print() {
         Rep(i, row) {
             Rep(j, col) {
                 cout << mat[i][j] << " ";
             }
             cout << endl;
         }
     }
 };

 // 矩阵快速幂，计算x^y
 inline Matrix mat_pow_mod(Matrix x, LL y) {
     Matrix ret(x.row, x.col);
     ret.E();
     while(y){
         if(y & ) ret *= x;
         x *= x;
         y >>= ;
     }
     return ret;
 }

 int n, k, m, maxSta;
 LL ans;

 int toId(int j, int sta) {
     return j * maxSta + sta;
 }

 int main(){
     INIT();
     cin >> n >> k >> m;
     maxSta =  << m;
     Matrix dp(, (k + ) * maxSta);
     dp.mat[][] = ;
     Matrix base((k + ) * maxSta, (k + ) * maxSta);

     // 构造base矩阵
     Rep(j, k + ) {
         Rep(sta, maxSta) {
             int newsta = (sta << ) % maxSta;
             int cur = toId(j, sta), newcur = toId(j, newsta);

             // 不选 i + 1 个星球从cur->newcur的状态变化
             base.mat[cur][newcur] = ;
             // 选 i + 1 个星球从cur->newcur的状态变化
             if (j < k) {
                 newcur = toId(j + , newsta | );
                 base.mat[cur][newcur] = __builtin_popcount(sta) + ;
             }
         }
     }

     base = mat_pow_mod(base, n);
     dp *= base;

     Rep(sta, maxSta) add_mod(ans, dp.mat[][toId(k, sta)]);
     cout << ans << endl;
     return ;
 }