Luogu P1462 通往奥格瑞玛的道路(最短路+二分)

P1462 通往奥格瑞玛的道路

题面

题目背景

在艾泽拉斯大陆上有一位名叫歪嘴哦的神奇术士，他是部落的中坚力量

有一天他醒来后发现自己居然到了联盟的主城暴风城

在被众多联盟的士兵攻击后，他决定逃回自己的家乡奥格瑞玛

题目描述

在艾泽拉斯，有 \(n\) 个城市。编号为 \(1,2,3,...,n\) 。

城市之间有 \(m\) 条双向的公路，连接着两个城市，从某个城市到另一个城市，会遭到联盟的攻击，进而损失一定的血量。

每次经过一个城市，都会被收取一定的过路费（包括起点和终点）。路上并没有收费站。

假设 \(1\) 为暴风城， \(n\) 为奥格瑞玛，而他的血量最多为 \(b\) ，出发时他的血量是满的。

歪嘴哦不希望花很多钱，他想知道，在可以到达奥格瑞玛的情况下，他所经过的所有城市中最多的一次收取的费用的最小值是多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行3个正整数， \(n\) ， \(m\) ， \(b\) 。分别表示有 \(n\) 个城市， \(m\) 条公路，歪嘴哦的血量为 \(b\) 。

接下来有 \(n\) 行，每行 \(1\) 个正整数， \(f_i\) 。表示经过城市 \(i\) ，需要交费 \(f_i\) 元。

再接下来有 \(m\) 行，每行 \(3\) 个正整数， \(a_i,b_i,c_i(1 \leq ai, bi \leq n)\) 。表示城市 \(a_i\) 和城市 \(b_i\) 之间有一条公路，如果从城市 \(a_i\) 到城市 \(b_i\) ，或者从城市 \(b_i\) 到城市 \(a_i\) ，会损失 \(c_i\) 的血量。

输出格式：

仅一个整数，表示歪嘴哦交费最多的一次的最小值。

如果他无法到达奥格瑞玛，输出 AFK 。

输入输出样例

输入样例：

4 4 8
8
5
6
10
2 1 2
2 4 1
1 3 4
3 4 3

输出样例：

10

说明

对于 $60 % $ 的数据，满足 \(n \leq 200,m \leq 10000,b \leq 200\)

对于 $100 % $ 的数据，满足 \(n \leq 10000, m \leq 50000, b \leq 1000000000\)

对于 $100 % $ 的数据，满足 \(c_i \leq 1000000000, f_i \leq 1000000000\) ，可能有两条边连接着相同的城市。

思路

要是你帮我把这题改对了我就叫你 \(100\) 声爹。 --Mercury

然后我改了一行，水星就叫了我 \(100\) 声爹 \(qwq\) 。

给上他的博客地址： 洛谷 P1951 收费站_NOI导刊2009提高（2） 最短路+二分。

这题其实并不难，枚举最多交费，然后跑最短路，看 \(dis[n]\) 是否 $ \leq b$ ，然后来更新二分的区间就可以做出来了。

在这里的话我主要枚举水星犯的错误：

一、看错题目

这道题和P1951其实是重题，水星先写的P1951。而那道题无解时输出 -1 而非 AFK ，所以水星就写挂了。

二、二分写挂了

一开始的时候水星是这么写的：

while(l<r)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    Dijkstra(mid);
    if(dis[n]>W) l=mid+1;
    else r=mid;
    if(dis[n]!=INT_MAX/2) b=true;
}

在这里先说明一下，他的距离数组是以 INT_MAX/2 来初始化的， \(bool\) 变量 b 用来记录有没有可行答案。

然后他改了一下：

do
{
    int mid=(l+r)>>1;
    Dijkstra(mid);
    if(dis[n]>W) l=mid+1;
    else r=mid;
    if(dis[n]!=INT_MAX/2) b=true;
}while(l<r);

然而正确的写法是：

do
{
    int mid=(l+r)>>1;
    Dijkstra(mid);
    if(dis[n]>W) l=mid+1;
    else r=mid,b=true;
}while(l<r);

二分是真的容易写挂！之前写的树链剖分二分都没有一次性写对。在这里推荐一篇很好的参考博客，供大家学习：

[曦行夜落]浅谈二分的边界问题

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const LL maxn=10010;
const LL maxm=50010;
const LL INF=0x7fffffff;
using namespace std;

LL n,m,W,wt[maxn];
LL tot,to[maxm<<1],nxt[maxm<<1],head[maxn],len[maxm<<1];
LL l,r,dis[maxn];
priority_queue< pair<LL,LL> > q;
bool vis[maxn],b;

void Dijkstra(LL mx)
{
    for(LL i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF;
    for(LL i=1;i<=n;i++) vis[i]=false;
    dis[1]=0;
    q.push(make_pair(0,1));
    while(!q.empty())
    {
        LL u=q.top().second;
        q.pop();
        if(vis[u]) continue;
        vis[u]=true;
        for(LL i=head[u];i;i=nxt[i])
        {
            LL v=to[i];
            if(wt[v]>mx) continue;
            if(dis[u]+len[i]<dis[v])
            {
                dis[v]=dis[u]+len[i];
                q.push(make_pair(-dis[v],v));
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&W);
    for(LL i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&wt[i]);
        r=max(r,wt[i]);
    }
    for(LL i=1;i<=m;i++)
    {
        LL u,v,w;scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
        to[++tot]=v;nxt[tot]=head[u];len[tot]=w;head[u]=tot;
        to[++tot]=u;nxt[tot]=head[v];len[tot]=w;head[v]=tot;
    }
    l=max(wt[1],wt[n]);
    do
    {
        LL mid=(l+r)>>1;
        Dijkstra(mid);
        if(dis[n]>W) l=mid+1;
        else b=true,r=mid;
    }while(l<r);
    if(b) printf("%lld",r);
    else printf("AFK");
    return 0;
}