（2）卷积 & 卷积和

参考资料：《信号与系统（第二版）》 杨晓非 何丰

连续信号的是卷积积分，离散信号的是卷积和。

脉冲分量

任意非周期信号，将横坐标分为若干个微小等分，得到Δτ为宽，f(kΔτ)为高的一系列微小矩形，每一个微小矩形都是f(kΔτ)为高的门限函数f_k(t)=f(kΔτ)g_Δτ(t-kΔτ)，Δτ越小，误差越小。当Δτ→0时，有Δτ→dτ，kΔτ→τ（这里的k趋近于无穷），由此等式的极限精确地等于原函数。

因此该积分式定义为任意信号f(t)与单位冲激信号δ(t)卷积积分:

任意离散信号的分解

任意离散信号f(k)（k=0,-1,1,-2,2...）可以表示为单位序列和的形式，即：

卷积积分

• 图解法（求解直观，但是过程繁琐）

　　（1）变量替换：将自变量由t变换成τ，得到f(τ),h(τ).

　　（2）反折：画出h(τ)相对于纵轴的反折，得到h(-τ)

　　（3）移位：把h(-τ)沿τ轴移动t位，得到h(t-τ)

　　（4）相乘：将移位后的h(t-τ)与f(t)相乘，固定f(t)，向右移动h(t-τ)

　　（5）积分：h(t-τ)与f(t)重叠部分与τ轴围成的面积为t时刻的卷积值

• 函数式计算法

　　该方法计算方便，关键是给出积分的上下限。

　　（1）变量替换：将自变量由t变换成τ，得到f(τ),h(τ).

　　（2）分别求出f(τ),h(τ)不为0的取值范围，取其交集，得出积分上下限，进行积分计算

　　（3）如果带有阶跃函数等奇异函数时，不能直接丢掉，其中宗量等于积分上限减去积分下限。

在本例题中ε(t)和ε(t-π/2)相加时，需要取ε(t-π/2)。

卷积和

当对离散信号作卷积计算时，涉及到的是卷积和。

• 图解法
• 数值法
• 不进位乘法
• 函数式计算法

　　函数式计算卷积和的方法通常涉及到等比级数和等差级数。