cogs 728. [网络流24题] 最小路径覆盖问题 匈牙利算法

728. [网络流24题] 最小路径覆盖问题

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算法实现题8-3 最小路径覆盖问题（习题8-13）

´问题描述：

给定有向图G=(V,E)。设P是G的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V中每个

顶点恰好在P的一条路上，则称P是G的一个路径覆盖。P中路径可以从V的任何一个顶

点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G的最小路径覆盖是G的所含路径条数最少

的路径覆盖。

设计一个有效算法求一个有向无环图G的最小路径覆盖。

提示：

设V={1，2，...  ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：

每条边的容量均为1。求网络G1的(x0,y0)最大流。

´编程任务：

对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。

´数据输入：

由文件input.txt提供输入数据。文件第1行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图

G的顶点数，m是G的边数。接下来的m行，每行有2个正整数i 和j，表示一条有向边(i,j)。

´结果输出:

程序运行结束时，将最小路径覆盖输出到文件output.txt中。从第1行开始，每行输出

一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

输入文件示例

input.txt 

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

输出文件示例

output.txt

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

讲解：

Coding!

发现自己还是太弱了

这样一道看起来比较简单的二分图最小路径覆盖问题都能出问题 唉

现在我们来讲一下这一道题的易错点

1.最小路径覆盖数是  节点数n  -   二分图的最大匹配数

2.这一道题让输出路径  那么这应该怎么办呢？

我想了一个办法是这个样子的

首先我们在累加那个ans的时候枚举节点跑匈牙利算法dfs的时候不是从小往大枚举的吗

也就是说那个hav数组 在正常的情况下是hav[后]=hav[前]  但是 如果是这个样子 我们不好输出路径 因为我比较想去从头（较小的）开始输出

那么我们再来看一个son数组 和hav数组正好是反过来的

同时我们再设一个in数组 来存储入度

所以经过了上面的处理

我们只需要枚举n个点 如果这个点的入度为0   那么我们就从这个点开始  顺着son往后跑 就能打印出该条路径啦

具体内容看代码理解咯（其实还是比较 简单的  我啰嗦了那么多   还是看代码比较清晰一点啦）

鸿篇巨制:

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 205
using namespace std;
int n,m;
int vis[maxn],hav[maxn],tim=;
vector<int> v[maxn];
int in[maxn];
int son[maxn];
bool Dfs(int x)
{
    for(int i=;i<v[x].size();i++)
    {
        int y=v[x][i];
        if(vis[y]!=tim)
        {
            vis[y]=tim;
            if(!hav[y]||Dfs(hav[y]))
            {
                hav[y]=x;
                son[x]=y;
                in[y]++;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
bool Printed[maxn];
void Print(int i)
{
    int x=i;
    while(x!=)
    {
        printf("%d ",x);
        Printed[x]=true;
        x=son[x];
    }
    putchar('\n');
}
int main()
{
    freopen("path3.in","r",stdin);
    freopen("path3.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=,x,y;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        v[x].push_back(y);
    }
    int ans=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        tim++;
        ans+=Dfs(i);
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
        if(in[i]==)
            Print(i);
    printf("%d\n",n-ans);
    return ;
}

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