【SDOI2015】约数个数和

题面

求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\)

\(\leq 50000\)组数据，\(1\leq n,m\leq 50000\)。

题目分析

首先，你需要知道一个结论：

\[d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)==1]
\]

你可以认为\(x,y\)表示你选择的因数为\(\frac i x \cdot y\)，即：\(x\)表示\(i\)中不要的部分，\(y\)表示\(j\)中要的部分。

如果\(gcd(x,y)==p_i\)，那么\(\frac i x\)表示在约数中拿掉\(p_i\)，\(y\)表示在约数中加入\(p_i\)，这样一拿一加，自然会在答案中重复。

---

那么，现在我们的问题转化为求

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)==1]
\]

这样还是无法计算，所以我们把枚举因数提前

\[\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^n\lfloor\frac n x\rfloor\lfloor\frac m y\rfloor[gcd(x,y)==1]
\]

现在看起来就可以反演了，设\(f(x)\)表示\(gcd(i,j)==x\)时的答案，\(g(x)\)表示\(gcd(i,j)==kx,k\in Z\)时的答案，则：

\[\begin{split}
f(x)&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\lfloor\frac n i\rfloor\lfloor\frac m j\rfloor[gcd(i,j)==x]\\
g(x)&=\sum\limits_{x|d}^nf(d)\\
&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\lfloor\frac n i\rfloor\lfloor\frac m j\rfloor[x|gcd(i,j)]\\
&=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac n x\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac m x\rfloor}\lfloor\frac n {ix}\rfloor\lfloor\frac m {jx}\rfloor\\
&=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac n x\rfloor}\lfloor\frac n {ix}\rfloor\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac m x\rfloor}\lfloor\frac m {jx}\rfloor
\end{split}
\]

---

比较巧的一点是：\(\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac n i\rfloor\)可以表示\(1 \sim n\)的约数个数的前缀和。

约数个数可以在线性筛中预处理，原理如下：

对于\(x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_n^{a_n}\)，\(x\)的约数个数为\((a_1+1)\cdot(a_2+1)\cdot(a_3+1)\cdot...\cdot(a_n+1)\)

由于在线性筛中，每个数只会被它最小的质因子更新，所以：

如果\(i\%prime[j]==0\)，说明\(i\)中含有\(prime[j]\)，此时\(x\)中\(prime[j]\)的个数为\(i\)中\(prime[j]\)的个数\(+1\)，\(x\)的约数个数=\(i\)的约数个数/(\(i\)中\(prime[j]\)的个数)*(\(i\)中\(prime[j]\)的个数\(+1\))；

如果\(i\%prime[j]!=0\)，说明\(prime[j]\)在\(x\)中只有\(1\)个，\(x\)的约数个数=\(i\)的约数个数*\(2\)。

---

这样一来\(g(x)\)可以进行预处理，然后\(O(1)\)计算。

反演得\(f(x)=\sum\limits_{x|d}^n\mu(\frac dx)g(d)\)，为了针对多组数据，整除分块即可。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=50005;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int mu[N],prime[N];
bool vis[N];

int ys[N],lw[N],g[N];
int main(){
	mu[1]=g[1]=1;
	for(int i=2;i<=50000;i++){
		if(!vis[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1,ys[i]=2,lw[i]=1;
		for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=50000;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				ys[i*prime[j]]=ys[i]/(lw[i]+1)*(lw[i]+2);
				lw[i*prime[j]]=lw[i]+1;
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			ys[i*prime[j]]=ys[i]*2,lw[i*prime[j]]=1;
		}
		mu[i]+=mu[i-1],g[i]=g[i-1]+ys[i];
	}

	int T=Getint();
	while(T--){
		int n=Getint(),m=Getint();
		if(n>m)swap(n,m);
		LL ans=0;
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*g[n/l]*g[m/l];
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}