[BZOJ1005](HNOI 2008)明明的烦恼

Description

自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣...... 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

Input

第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1

Output

一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0

Sample Input

3
1
-1
-1

Sample Output

2

HINT

两棵树分别为1-2-3;1-3-2

分析

好久没有更新题解了。。。

很容易看出这是一道组合计数题。然而……如果没有图论基础是很难想出怎样构造的。。。不过我在今年四月份刚“入门”OI的时候有幸看到了省队RealCS的题解，提前接触到了带标号无根树计数的“prufer数列“>_<所以这次很快就写出了正解~（prufer数列详见Matrix67 的blog：http://www.matrix67.com/blog/archives/682）

首先，由prufer数列的性质我们知道：对于一棵给定的无根树，任意一个节点在这棵树的prufer数列中出现次数等于这个节点的度数 - 1。那么根据题目中的条件，我们就可以得到一个可重集排列问题：给定每个数字出现次数，求满足条件的排列个数。对于没有给定度数的节点，我们可以将它们用空格代替。我们需要在已有的数列中插入若干个空格，每个空格中填入任意一个“没有给定度数”的节点。这样，我们只需将得出的“可重集排列”数乘上空格数量的cnt次方(此处cnt表示没有给定度数的节点种数)即可。

那么，基本的思路确定了，我们现在的问题就是如何高效地计算可重集排列数了。根据可重集全排列公式，

$$P = \frac{N!}{\prod{n_i !}} $$其中$n_i$表示第i个元素的个数。麻烦的是，本题中全集规模N可能很大，这里的所有数都应当是高精度表示的，我们难道要一点一点做高精度除法吗？

作为一名强迫症患者，我无法容忍这样龟速的解法，我们需要想想怎样优化。首先，我们知道这个公式得出的一定是整数。不难想到我们可以对分子分母分别做质因数分解，再将上下得到的指数相减，最后统一乘入一个高精度整数即可。又考虑到这里分解的对象比较特殊（都是阶乘），我们可以找到一种更机智的分解方法：从小到大枚举素数，然后统计这个素数在2~n的每个整数中的指数之和即可。（详见代码中的"res"函数）

;
, c = getchar();
 + c - ;
, A[] = ;}
;
;i < len || mor;++i){
, A[maxn], Acnt = , Bcnt = , prime[maxn], pcnt = ;
};
;i <= N;++i){
;j < pcnt;++j){
;
)){putchar();}
){
 || !d)putchar();
;i <= N;++i){
){putchar();}
) ++Bcnt;
;
;
) || (S < N- && !Bcnt)){
);
 - S;
;
};
;i < pcnt;++i){
){printf();}
, p;
] = ;
;i <= A[j];++i)
;i < pcnt;++i){
                      powcnt[i] += S / p;
             p *= prime[i];
         }
     }
     ;i < Acnt;++i)
         res(A[i]);
     ;i < pcnt;++i){
         ;j <= powcnt[i];++j)
             ans *= prime[i];
     }
     i = ans.len - ;
     printf(              printf( }
      init();
     work();
     ;
 }

Prufer数列+可重集排列+阶乘质因数分解