HDU 4370 0 or 1（spfa+思维建图+计算最小环）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370

题目大意：有一个n*n的矩阵Cij(1<=i,j<=n)，要找到矩阵Xij(i<=1,j<=n)满足以下条件：

　　　　　1.X ₁₂+X ₁₃+...X _1n=1 
　　　　　2.X _1n+X _2n+...X _n-1n=1 
　　　　　3.for each i (1<i<n), satisfies ∑X _ki (1<=k<=n)=∑X _ij (1<=j<=n).

举个例子， 如果 n=4,上面条件等价于以下情况：
　　　　　X ₁₂+X ₁₃+X ₁₄=1 
　　　　　X ₁₄+X ₂₄+X ₃₄=1 
　　　　　X ₁₂+X ₂₂+X ₃₂+X ₄₂=X ₂₁+X ₂₂+X ₂₃+X ₂₄ 
　　　　　X ₁₃+X ₂₃+X ₃₃+X ₄₃=X ₃₁+X ₃₂+X ₃₃+X ₃₄

找出 ∑C _ij*X _ij(1<=i,j<=n)的最小值。

解题思路：这题主要是考建图的思维，看了kuangbin写的才会，下面都是照搬他博客的东西。解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

　　　　　①.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1

　　　　　②..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

　　　　　③.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

还有如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。

故最终答案为min(spfa(1,n),spfa(1,1)+spfa(n,n))。

spfa里面计算最小环，还需要一点修改，当计算环时（dis[start]==INF且start不入队，计算所有start能到达的点并入队）。

代码：

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const int N=3e2+;
 const int INF=0x3f3f3f3f;

 int n;
 int cost[N][N],dis[N];
 bool vis[N];

 int spfa(int s,int e){
     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
     memset(vis,false,sizeof(vis));
     queue<int>q;
     if(s==e){
         for(int i=;i<=n;i++){
             if(i!=s){
                 q.push(i);
                 dis[i]=cost[s][i];
                 vis[i]=true;
             }
         }
     }
     else{
         dis[s]=;
         q.push(s);
     }
     while(!q.empty()){
         int k=q.front();
         q.pop();
         vis[k]=false;
         for(int i=;i<=n;i++){
             if(dis[k]+cost[k][i]<dis[i]){
                 dis[i]=dis[k]+cost[k][i];
                 if(!vis[i]){
                     q.push(i);
                     vis[i]=true;
                 }
             }
         }
     }
     return dis[e];
 }

 int main(){
     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
         for(int i=;i<=n;i++){
             for(int j=;j<=n;j++){
                 scanf("%d",&cost[i][j]);
             }
         }
         int ans=min(spfa(,n),spfa(,)+spfa(n,n));
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }